[論文レビュー] Densest Subgraph in Dynamic Graph Streams

Andrew McGregor, David Tench+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、O(ε⁻²n polylog n) の空間と polylog(n) の1回の更新あたりの時間で、(1+ε) 要因内で稠密な部分グラフを近似する1パス動的グラフストリームアルゴリズムを提示する。ペアワイズ独立ハッシュ関数と ℓ₀-サンプリングプリミティブを活用することで、高確率でエッジを効率的にサンプリングし、スパースなプロキシグラフを構築して最大部分グラフ密度を推定する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the problem of approximating the densest subgraph in the dynamic graph stream model. In this model of computation, the input graph is defined by an arbitrary sequence of edge insertions and deletions and the goal is to analyze properties of the resulting graph given memory that is sub-linear in the size of the stream. We present a single-pass algorithm that returns a $(1+ε)$ approximation of the maximum density with high probability; the algorithm uses $O(ε^{-2} n \polylog n)$ space, processes each stream update in $\polylog (n)$ time, and uses $\poly(n)$ post-processing time where $n$ is the number of nodes. The space used by our algorithm matches the lower bound of Bahmani et al.~(PVLDB 2012) up to a poly-logarithmic factor for constant $ε$. The best existing results for this problem were established recently by Bhattacharya et al.~(STOC 2015). They presented a $(2+ε)$ approximation algorithm using similar space and another algorithm that both processed each update and maintained a $(4+ε)$ approximation of the current maximum density in $\polylog (n)$ time per-update.

研究の動機と目的

• 部分線形メモリを用いて、動的グラフストリームにおける稠密な部分グラフの近似を達成する挑戦に取り組む。
• 高確率で最大部分グラフ密度の (1+ε)-近似を達成する。
• エッジの挿入・削除ごとに多項式対数時間の更新時間を維持しながら、情報理論的下界に近い空間を使用する。
• サンプルされたグラフ上で正確な稠密な部分グラフアルゴリズムを用いて、最終的な推定値を効率的に計算可能にする。
• 類似したリソース制約下で (2+ε) や (4+ε) の近似しか達成できなかった先行研究の制限を克服する。

提案手法

• ペアワイズ独立ハッシュ関数を用いて、ハッシュ値に基づいてエッジをグループ E_{i,j} に分割する。
• ℓ₀-サンプリングプリミティブを用いて、各 E_{i,j} から重複なしに一様に τ = 24c log n 個のエッジをサンプリングする。
• Jowhari らの線形スケッチを活用し、以前にサンプリングされたエッジのインジケーターをスケッチから差し引くことで、一意なエッジをサンプリングする。
• |E_{i,j}| と総エッジ数 m のカウンタを維持し、サンプリング確率 p = (ε² m)/(n log n) を計算する。
• サンプリングされたエッジからスパースなプロキシグラフ G' を構築し、G' の部分グラフ密度が元のグラフの密度を近似するようにする。
• Charikar の正確なアルゴリズムを用いて G' の最大密度を計算し、その後 1/p でスケーリングすることで、元のグラフの稠密な部分グラフ密度を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式対数時間の更新時間と近似的最適な空間を用いて、動的グラフストリームにおける (1+ε)-近似の稠密な部分グラフを維持することは可能か？
• RQ2 高確率で (1+ε)-近似を達成するため、ストリームを1回のパスで処理することが可能か？
• RQ3 ℓ₀-サンプリングをどのように動的設定で重複なしに効率的に適応できるか？
• RQ4 この問題に対する既知の下界に漸近的に近い空間使用量を実現できるか？
• RQ5 完全に動的グラフストリームモデルにおいて、近似品質と更新効率のトレードオフは何か？

主な発見

• アルゴリズムは高確率で (1+ε)-近似を達成し、先行研究の (2+ε) や (4+ε) の境界を改善する。
• 空間使用量は O(ε⁻²n polylog n) であり、定数 ε に対して Bahmani らの下界と多項式対数要因の違いを除いて一致する。
• 1エッジの更新は polylog(n) 時間で処理され、アモアタイズドではなく最悪ケースの効率性を達成する。
• 後処理ステップは poly(n) 時間で実行可能であり、サンプルされたグラフのスパarsity に起因する。
• 複数のハッシュグループと、差し引きを伴う ℓ₀-サンプリングの組み合わせにより、多項式対数時間で重複なしの一様サンプリングが可能になる。
• 解析により、高確率で各グループ E_{i,j} のサンプルエッジ数が τ = 24c log n 以下に保たれることを示し、正しさと効率性が保証される。