[論文レビュー] Derived smooth stacks and prequantum categories

James Wallbridge|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、n-シフトされたp-プレプレリクティック構造を導入することで、導来滑らかくアーティンスタックへのワイエル＝コスタント整数性定理の一般化を達成し、整数形式が(p+n−1)-gerbeに接続を持つことを証明した。また、線型(∞,p+n−1)-圏への自然な函手を構成し、高次幾何学および特異的空間への予量化の一般化を実現した。

ABSTRACT

The Weil-Kostant integrality theorem states that given a smooth manifold endowed with an integral complex closed 2-form, then there exists a line bundle with connection on this manifold with curvature the given 2-form. It also characterises the moduli space of line bundles with connection that arise in this way. This theorem was extended to the case of p-forms by Gajer in [Ga]. In this paper we provide a generalization of this theorem where we replace the original manifold by a derived smooth Artin stack. Our derived Artin stacks are geometric stacks on the étale (\infty,1)-site of affine derived smooth manifolds. We introduce the notion of a n-shifted p-preplectic derived smooth Artin stack in analogy with the algebraic case constructed by Pantev-Toën-Vaquié-Vezzosi in [PTVV]. This is a derived smooth Artin stack endowed with a complex closed (p+1)-form which has been cohomologically shifted by degree n. It is a far reaching generalization of a p-preplectic manifold which includes orbifolds and other highly singular objects. We then show that when its n-shifted p-preplectic form is integral, then there exists a (p+n-1)-gerbe with p-connection data and curvature corresponding to the original p-preplectic form. We also provide the characterization of the moduli stack of gerbes with connections arising in this context. We construct a canonical functor from the (\infty,1)-category of integral n-shifted p-preplectic derived smooth Artin stacks to the (\infty,1)-category of linear (\infty,p+n-1)-categories. When n=0 and p=1, this functor can be thought of like a cohomology functor in that it associates to a derived presymplectic smooth Artin stack a linear invariant in the form of a differential graded module. In the general case we obtain higher prequantum categories which requires the machinery of linear (\infty,n)-categories.

研究の動機と目的

• 古典的定理がカバーしない特異的空間および商空間を含む導来滑らかくアーティンスタックへのワイエル＝コスタント整数性定理の拡張。
• 多様体上での古典的予量化の制限を、導来構造および高次圏的構造を統合することで克服。
• 非横断的交差や非自由群作用を含む高次幾何学的文脈における予量化のフレームワークの提供。
• 整数n-シフトされたp-プレプレリクティック形式から生じる接続付きgerbeのモジュライスタックの特徴付け。
• 整数n-シフトされたp-プレプレリクティック導来滑らかくアーティンスタックの∞-圏から線型(∞,p+n−1)-圏への函手の構成。これは予量子函手の一般化である。

提案手法

• 導来滑らかなアーティンスタックを、アフィン導来滑らかく多様体のエタール∞-サイト上の層として定義し、多様体およびオルビフォールドを一般化する。
• コhomological shift nを伴う閉じた(p+1)-形式を用いて、n-シフトされたp-プレプレリクティック導来滑らかくアーティンスタックの概念を導入する。
• 導来幾何学における余接複体の理論を用いて、導来多様体の間の準同型の相対的余接複体を定義し、特徴づける。
• 非導来の場合に、余接複体の0番目のホモトピー群と古典的Kähler微分の層との間に自然な同型が存在することを確立する。
• 整数n-シフトされたp-プレプレリクティック導来滑らかくアーティンスタックの∞-圏から、線型(∞,p+n−1)-圏の∞-圏への函手を構成する。
• ∞-圏のモジュールおよびt-構造を含む高次圏的道具を活用し、予量子函手の定義と分析を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的空間および商空間を含む導来滑らかくアーティンスタックへのワイエル＝コスタント整数性定理の拡張は、どのように達成できるか？
• RQ2 高次幾何学における予量子ラインバンドルの正しい一般化は何か？ そしてそれはどのように高次gerbeと接続によって表現されるか？
• RQ3 シフトされたプレプレリクティック形式の概念は、導来幾何学における古典的シンプレクティック構造および予量化可能構造をどのように一般化するか？
• RQ4 整数n-シフトされたp-プレプレリクティック形式から生じる接続付きgerbeのモジュライスタックの構造は何か？
• RQ5 予量子函手はどのように高次圏へ一般化され、n=0、p=1の場合にその性質はどのように現れるか？

主な発見

• 整数n-シフトされたp-プレプレリクティック導来滑らかくアーティンスタックは、元の(p+1)-形式が曲率となる(p+n−1)-gerbeにp-接続を持つ。
• このようなgerbeと接続のモジュライスタックは、基本スタック上の(∞,p+n−1)-圏の層として特徴づけられる。
• この構成により、整数n-シフトされたp-プレプレリクティック導来滑らかくアーティンスタックの∞-圏から線型(∞,p+n−1)-圏の∞-圏への自然な函手が得られる。
• n=0かつp=1の場合、この函手はコホモロジーに類似した不変量を回復し、導来プレシンプレクティックアーティンスタックに微分複体モジュールを割り当てる。
• 導来滑らかく多様体の余接複体は、0次の次数で古典的滑らかく1-形式の層を回復し、導来定義の正当性を裏付ける。
• この理論は、Gajerによるワイエル＝コスタント定理のp-形式への一般化を、導来構造および高次圏的構造を統合することで拡張する。