[論文レビュー] Diagrams for perverse sheaves on isotropic Grassmannians and the supergroup SOSP(m|2n)

Michael Ehrig, Catharina Stroppel|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、一般化されたクラスコフ代数からの折りたたみ構成を用いて、タイプ$D_k$の等方的グラスマン多様体上の perverse sheaves を圏的に実現する図式的・次数付き Koszul 代数$Δ_k$を導入する。主な結果として、有限次元$Δ_k$-加群の圏と等方的グラスマン多様体上の perverse sheaves の圏との明示的な同値性を確立し、orthosymplectic supergroup$ϳοσπ(m|2n)$の表現理論への応用を提供することで、その有限次元表現の明確な図式的記述を可能にする。

ABSTRACT

We describe diagrammatically a positively graded Koszul algebra \mathbb{D}_k such that the category of finite dimensional \mathbb{D}_k-modules is equivalent to the category of perverse sheaves on the isotropic Grassmannian of type D_k constructible with respect to the Schubert stratification. The connection is given by an explicit isomorphism to the endomorphism algebra of a projective generator described in by Braden. The algebra is obtained by a "folding" procedure from the generalized Khovanov arc algebras. We relate this algebra to the category of finite dimensional representations of the orthosymplectic supergroups. The proposed equivalence of categories gives a concrete description of the categories of finite dimensional SOSP(m|2n)-modules.

研究の動機と目的

• タイプ$D_k$の等方的グラスマン多様体上の perverse sheaves の圏をモデル化する図式的・次数付き Koszul 代数$Δ_k$を構成すること。
• $Δ_k$と perverse sheaves 圏における射影的生成子の自己準同型代数との明示的同型を確立すること。
• 図式的同値を介して、代数$Δ_k$を orthosymplectic supergroup$ϳοσπ(m|2n)$の表現理論に関連付けること。
• 有限次元$ϳοσπ(m|2n)$-加群の圏を図式的代数によって明示的に記述すること、およびその構造を特定すること。

提案手法

• $Δ_k$は、タイプ$D_k$の一般化されたクラスコフアーキュレーブ代数の折りたたみ版として構成され、符号と次数を符号化する装飾を施した向き付き円図形を用いる。
• $Δ_k$の各基底要素は、カップ図形$“\underline{\lambda}”$とその上下反転の双対$“\overline{\mu}”$を組み合わせた$“\underline{\lambda}\overline{\mu}”$として得られる装飾付き円図形に対応する。
• $Δ_k$における乗法は、円の直和間のcobordismを用いたTQFTに類似した構造により定義され、結合性を保つために図形の装飾を通じて符号を組み込む。
• perverse sheaves 圏のExt-クワイバーは図式的に実現され、頂点はカップ図形でラベル付けされ、辺は接続された点におけるカップ交換に対応する。
• 次数付きCartan行列$C_k$は、指定された次数を持つ向き付き円図形の数え上げにより計算され、分解数の図式的公式を提供する。
• $(n,m)$-フック分割と、$\mathrm{def}(\mu) + \#\times(\mu) = m$および$\#\circ(\mu) - \#\times(\mu) = n - m$を満たすスーパーウェイト図形との間の双対写像$\lambda \mapsto \lambda^\circ$が定義され、表現論的データと図式的重みを結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプ$D_k$の等方的グラスマン多様体上の perverse sheaves の圏をモデル化する図式的・次数付き代数をどのように構成できるか？
• RQ2 この圏のExt-クワイバーと次数付きCartan行列の正確な図式的実現は何か？
• RQ3 折りたたみ一般化クラスコフ代数$Δ_k$は、orthosymplectic supergroup$ϳοσπ(m|2n)$の表現理論とどのように関係するか？
• RQ4 有限次元$ϳοσπ(m|2n)$-加群の圏は図式的代数によって記述可能か？ もしそうならば、その構造は何か？
• RQ5 極限代数$\mathbb{H}_k^\infty$は、圏$\mathcal{F}(\operatorname{SOSP}(m|2n))$における非典型性のブロックを実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• $Δ_k$は、タイプ$D_k$の等方的グラスマン多様体上の perverse sheaves 圏における最小射影的生成子の自己準同型代数と同型であり、明確な図式的モデルを確立する。
• $Δ_k$における乗法は結合的かつ次数付きであり、[BGS96]における幾何的Koszul次数と整合する。
• perverse sheaves 圏のExt-クワイバーは、カップ図形でラベル付けされた頂点と、接続された点におけるカップ交換に対応する辺を持つ有限グラフとして図式的に実現される。
• 次数付きCartan行列$C_k$は、図形的計数により$“\overline{\lambda}\mu”$の向き付き円図形とその次数を用いて計算され、分解数の組合せ論的公式を提供する。
• $(n,m)$-フック分割と、$\mathrm{def}(\mu) + \#\times(\mu) = m$および$\#\circ(\mu) - \#\times(\mu) = n - m$を満たすスーパーウェイト図形との間の双対写像$\lambda \mapsto \lambda^\circ$が構成され、図式的データとスーパーグループ表現論を結びつける。
• 有限次元$ϳοσπ(m|2n)$-加群の圏は、商$\mathbb{H}_k^\infty / \mathbb{I}$上の有限次元加群の圏と同値であると予想され、同値は射影的および単純加群をそれらの図式的対応物に送る。