[論文レビュー] Diameter Spanner, Eccentricity Spanner, and Approximating Extremal Graph Distances: Static, Dynamic, and Fault Tolerant.

Keerti Choudhary, Omer Gold|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有向重み付きグラフにおけるグラフ径値の $(1.5 + \epsilon)$-近似および頂点の中心性の $2$-近似を、動的かつ故障に耐性を持つ最初の非自明なアルゴリズムを提示する。 extremal-distance spanners を導入し、$O(n^{1.5})$ 辺を有する $(1.5)$-直径スパンナを含む。近似的に最適な平均更新時間を達成し、$1.5$-近似の径値に対して静的境界にほぼ一致する。

ABSTRACT

The diameter, vertex eccentricities, and the radius of a graph are some of the most fundamental graph parameters. Roditty and Williams [STOC 2013] gave an $O(m\sqrt{n})$ time algorithm for computing a 1.5 approximation of graph diameter. We present the first non-trivial algorithm for maintaining `< 2'- approximation of graph diameter in dynamic setting. Our algorithm maintain a $(1.5+\epsilon)$ approximation of graph diameter that takes amortized update time of $O(\epsilon^{-1}n^{1.25})$ in partially dynamic setting. For graphs whose diameter remains bounded by some large constant, the total amortized time of our algorithm is $O(\epsilon^{-2}\sqrt{n})$, which almost matches the best known bound for static $1.5$-approximation of diameter. Backurs et al. [STOC 2018] gave an $ ilde O(m\sqrt{n})$ time algorithm for computing 2-approximation of eccentricities. They also showed that no $O(n^{2-o(1)})$ time algorithm can achieve an approximation factor better than $2$ for graph eccentricities, unless SETH fails. We present the $ ilde O(m)$ time algorithm for computing $2$-approximation of vertex eccentricities in directed weighted graphs. We also present fault tolerant data-structures for maintaining $1.5$-diameter and $2$-eccentricities. We initiate the study of Extremal Distance Spanners. Given a graph G=(V,E), a subgraph H=(V,E0) is defined to be a {\em $t$-diameter-spanner} if the diameter of $H$ is at most $t$ times the diameter of $G$. We show that for any $n$-vertex directed graph $G$ we can compute a sparse subgraph $H$ which is a $(1.5)$-diameter-spanner of $G$ and contains at most $O(n^{1.5})$ edges. We also show that this bound is tight for graphs whose diameter is bounded by $n^{1/4-\epsilon}$. We present several other extremal-distance spanners with various size-stretch trade-offs. Finally, we extensively study these objects in the dynamic and fault-tolerant settings.

研究の動機と目的

• 近似グラフ径値および頂点中心性を維持する最初の動的かつ故障に耐性を持つアルゴリズムを開発すること。
• 直径や中心性といった極値的グラフパラメータの動的アルゴリズムにおけるギャップを埋めること。これは、静的設定を超えて研究がなされていなかった。
• extremal-distance spanners（極値距離を保持する部分グラフ）を導入・研究し、タイトなサイズ-ストレッチトレードオフを実現すること。
• 動的径値および中心性近似のための近似的に最適な平均更新時間を達成し、特に重要な領域では既知の静的境界に一致させること。

提案手法

• 部分的動的グラフにおいて、$(1.5 + \epsilon)$-近似のグラフ径値を維持する動的アルゴリズムを設計し、平均更新時間 $O(\epsilon^{-1}n^{1.25})$ を達成する。
• 任意の $n$ 頂点有向グラフに対して、$O(n^{1.5})$ 辺を有する新しい $(1.5)$-直径スパンナの構成を提案し、直径が $O(n^{1/4 - \epsilon})$ であるグラフに対してそれがタイトであることを証明する。
• ホップセットおよび距離オラクルに基づくスパース部分グラフ構成を用いて、辺の更新下での近似距離を維持する。
• 静的 $1.5$-近似の径値および $2$-近似の中心性の技術を、動的かつ故障に耐性を持つ設定に適応する。
• 辺または頂点の故障に対してもスパンナを維持できる故障に耐性を持つデータ構造を用い、動的環境における耐性を確保する。
• extremal-distance spanners と動的近似アルゴリズムのタイトな関係を活用し、近似的に最適な境界を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近似的に最適な更新時間で、動的グラフにおいて $(1.5 + \epsilon)$-近似のグラフ径値を維持することは可能か？
• RQ2 元のグラフの径値の $1.5$-近似を保持する最小のサブグラフサイズは何か？
• RQ3 有向重み付きグラフにおいて、$2$-近似の頂点中心性を $\tilde{O}(m)$ 時間で達成できるか、動的設定でも可能か？
• RQ4 extremal-distance spanners（例：$t$-直径スパンナ）は、動的更新および故障に対してどのように振る舞うか？
• RQ5 有向グラフにおける extremal-distance spanners のタイトなサイズ-ストレッチトレードオフは何か？

主な発見

• 本稿は、部分的動的グラフにおいて、$(1.5 + \epsilon)$-近似のグラフ径値を平均更新時間 $O(\epsilon^{-1}n^{1.25})$ で維持する動的アルゴリズムを提示する。
• 直径が大きな定数で有界なグラフに対して、総平均時間は $O(\epsilon^{-2}\sqrt{n})$ であり、$1.5$-近似の径値に対する既知の最良静的境界にほぼ一致する。
• 直径が $O(n^{1/4 - \epsilon})$ であるグラフに対してタイトであることが証明された、$O(n^{1.5})$ 辺を有する新しい $(1.5)$-直径スパンナの構成を導入する。
• 有向重み付きグラフにおいて、頂点中心性の $2$-近似を計算する $\tilde{O}(m)$-時間のアルゴリズムを提示する。
• extremal-distance spanners が形式的に導入され、$t$-直径スパンナや $t$-中心性スパンナを含む、階層的なサイズ-ストレッチトレードオフが提示される。
• 辺または頂点の故障に対しても $1.5$-直径および $2$-中心性近似を維持できる故障に耐性を持つデータ構造が開発される。