[論文レビュー] Differential forms on diffeological spaces and diffeological gluing, I

Ekaterina Pervova|arXiv (Cornell University)|May 24, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、滑らかな写像に沿って2つの微分的空間を同一視する操作である微分的貼り合わせの下で、微分形式1形式およびそれに関連する擬バンドルの挙動を調査する。貼り合わせ空間上の1形式の空間が、貼り合わせ領域上の1形式空間のファイバープロダクトに同型であることを確立し、微分的構造が整合的である条件の下で、貼り合わせ空間上の1形式の擬バンドルは元の擬バンドルへの滑らかな射影によって特徴づけられ、これにより整合的な擬計量の構成が可能になる。

ABSTRACT

This paper aims to describe the behavior of diffeological differential forms under the operation of gluing of diffeological spaces along a smooth map. In the diffeological context, two ways of looking at diffeological forms are available, that of the vector space of all diffeological forms on a given space, and that of the pseudo-bundle of values of these forms. We describe the behavior of the former under a gluing of diffeological spaces.

研究の動機と目的

• 微分的空間上の微分形式1形式が貼り合わせ操作の下でどのように変化するかを理解すること。
• 特に貼り合わせが微分同相写像に沿って行われる場合に、微分的貼り合わせ空間上の1形式の擬バンドルを特徴づけること。
• 元の空間上の与えられた擬計量から、貼り合わせられた擬バンドル上に整合的な擬計量を構成すること。
• 形式と計量の滑らかな整合性を用いて、貼り合わせ空間上での微分的接続を定義するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 本稿では、$\Omega^1(X)$ を、プロットへの滑らかな割り当てのなす微分的ベクトル空間として定義する。
• 擬バンドル $\Lambda^1(X)$ は、$X$ の点上の1形式値のファイバー空間とされ、ファイバー次元が一様でないことも許容する構造を持つ。
• $Y \subset X_1$ および $f: Y \to X_2$ が滑らかな写像であるときの貼り合わせに対して、空間 $\Omega^1(X_1 \cup_f X_2)$ は、$\Omega^1(X_1) \times \Omega^1(X_2)$ の部分集合として、包含写像 $i$ と $f \circ j$ 沿いの引き戻しで一致するペア $(\omega_1, \omega_2)$ として特定される。
• 写像 $f$ が微分同相であり、条件 $\mathcal{D}_1^\Omega = \mathcal{D}_2^\Omega$ が成り立つとき、$\Lambda^1(X_1 \cup_f X_2)$ 上の微分的構造は、自然な射影が $\Lambda^1(X_1)$ および $\Lambda^1(X_2)$ へ滑らかになるような、最も粗い微分的構造である。
• 与えられた擬計量 $g_1^\Lambda$ および $g_2^\Lambda$ の直和の制限として、$\Lambda^1(X_1 \cup_f X_2)$ 上に擬計量 $g^\Lambda$ が構成され、$\mathcal{D}_1^\Omega = \mathcal{D}_2^\Omega$ 条件により整合性が保証される。
• 滑らかさは、評価がプロット上で滑らかになることを確認することで検証され、整合性条件により貼り合わせ領域全体で式が統一される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分的貼り合わせによって2つの空間が貼り合わされるとき、1形式の空間はどのように変化するか？
• RQ2 貼り合わせが微分同相写像に沿って行われる場合、$\Lambda^1(X_1 \cup_f X_2)$ の擬バンドル構造はどのようなものか？
• RQ3 どのような条件下で、$\Lambda^1(X_1)$ および $\Lambda^1(X_2)$ 上の整合的擬計量から、$\Lambda^1(X_1 \cup_f X_2)$ 上に擬計量が誘導されるか？
• RQ4 $\Lambda^1(X_1 \cup_f X_2)$ 上の微分的構造は、元の空間の微分的構造とどのように関係するか？

主な発見

• 貼り合わせ空間 $X_1 \cup_f X_2$ 上の1形式の空間は、$\Omega^1(X_1) \times \Omega^1(X_2)$ の部分集合として、$i^*\omega_1 = f^*j^*\omega_2$ を満たすペア $(\omega_1, \omega_2)$ からなるものと同型である。ここで $i$ および $j$ は貼り合わせ領域への包含写像である。
• 写像 $f$ が微分同相であり、$\mathcal{D}_1^\Omega = \mathcal{D}_2^\Omega$ が成り立つとき、$\Lambda^1(X_1 \cup_f X_2)$ 上の微分的構造は、自然な射影が $\Lambda^1(X_1)$ および $\Lambda^1(X_2)$ へ滑らかになるような、最も粗いものである。
• 擬バンドル $\Lambda^1(X_1 \cup_f X_2)$ のファイバーは、$\Lambda^1(X_1)$ や $\Lambda^1(X_2)$ のファイバーと同型、またはそれらの直積の部分空間であり、貼り合わせ写像によって決定される。
• 擬計量 $g^\Lambda$ は、$g_1^\Lambda$ および $g_2^\Lambda$ の直和の制限として構成され、$\mathcal{D}_1^\Omega = \mathcal{D}_2^\Omega$ 条件の下で滑らかであることが示される。
• $g^\Lambda$ の滑らかさは、整合性条件により $g_1^\Lambda$ および $g_2^\Lambda$ の滑らかさに還元されることで、すべてのプロット上で滑らかであることが確認される。
• $\Lambda^1(X_1)$ および $\Lambda^1(X_2)$ が整合的擬計量をもつならば、$\Lambda^1(X_1 \cup_f X_2)$ はそれらから誘導された擬計量をもつことが示され、これは補題9.4で示されている。