[論文レビュー] Diffeological gluing of vector pseudo-bundles and pseudo-metrics on them

Ekaterina Pervova|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、局所自明性を要件としない微分型ベクトル擬バンドルに対して、各ファイバーで最小に退化する擬計量を導入することにより、リーマン計量の微分型類似物を構築する。また、このような計量が存在する条件および微分型貼り合わせにおいて保存される条件を確立する。貼り合わせられた擬バンドル上の擬計量が、成分の整合的な擬計量から生じることを示し、局所自明性のもとで、双対擬バンドル上に自然な双対擬計量が誘導されることを示す。

ABSTRACT

Although our main interest here is developing an appropriate analog, for diffeological vector pseudo-bundles, of a Riemannian metric, a significant portion is dedicated to continued study of the gluing operation for pseudo-bundles introduced in arXiv:1509.03023. We give more details regarding the behavior of this operation with respect to gluing, also providing some details omitted from arXiv:1509.03023, and pay more attention to the relations with the spaces of smooth maps. We also show that a usual smooth vector bundle over a manifold that admits a finite atlas can be seen as a result of a diffeological gluing, and thus deduce that its usual dual bundle is the same as its diffeological dual. We then consider the notion of a pseudo-metric, the fact that it does not always exist (which seems to be related to non-local-triviality condition), construction of an induced pseudo-metric on a pseudo-bundle obtained by gluing, and finally, the relation between the spaces of all pseudo-metrics on the factors of a gluing, and on its result. We conclude by commenting on the induced pseudo-metric on the pseudo-bundle dual to the given one.

研究の動機と目的

• 局所自明性を要件としない微分型ベクトル擬バンドルへのリーマン計量の概念の拡張を図ること。
• 標準的でない有限次元の微分型ベクトル空間における標準的内積の失敗を補うために、最小に退化する対称双線形形式を導入すること。
• 微分型貼り合わせによるベクトル擬バンドルにおける擬計量理論を構築し、元の成分における擬計量と関連付けること。
• 与えられた擬バンドルに擬計量が与えられたもとで、その双対擬バンドル上に誘導される擬計量を定義し、その性質を調べること。

提案手法

• 局所自明性を要件としない滑らかベクトルバンドルに類似した対象として、微分型ベクトル擬バンドルの概念を導入する。
• 擬計量を、双対擬バンドルの対称テンソル積の滑らかな切断として定義し、各ファイバーで最小に退化するようにする。
• 文献[9]の微分型貼り合わせ構成を用いて、重複領域における整合的データから新しい擬バンドルを構成する。
• 貼り合わせた成分における整合的擬計量のペアから、結果の擬計量への写像 $\mathcal{P}$ を確立し、単射性を示す。
• 擬計量 $g$ によって誘導される自然なペアリング写像 $\Phi: V \to V^*$ を $\Phi(v) = g(\pi(v))(v, \cdot)$ で定義し、双対擬計量を構成する。
• 写像 $\Phi$ の滑らか性を証明し、局所自明性を用いて局所微分同相写像と評価写像を介して、誘導された双対擬計量 $g^*$ が滑らかであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分型ベクトル擬バンドルが擬計量をもつための条件は何か？ また、それが貼り合わせによって生じるとはどのような場合か？
• RQ2 微分型貼り合わせの成分における整合的擬計量は、結果の擬バンドルにおける擬計量とどのように関係するか？
• RQ3 擬バンドル上の擬計量が、その双対擬バンドル上で一意的かつ滑らかに定義された擬計量を誘導できるか？
• RQ4 $\mathcal{P}$ が整合的擬計量のペアから貼り合わせられた擬計量への写像として、常に全射であるか、それとも単に単射であるか？
• RQ5 双対擬計量の存在には局所自明性の仮定が必要か？ また、この仮定は必要不可欠か？

主な発見

• 局所自明性を満たす有限次元の微分型ベクトル擬バンドルが擬計量をもつ場合、その双対擬バンドル上に一意的かつ滑らかに定義された誘導擬計量が存在する。
• $\mathcal{P}$ は、貼り合わせた成分における整合的擬計量のペアから結果の擬計量への写像として常に単射であり、各ファイバーへの制限によって元の計量が回復されるためである。
• 誘導された双対擬計量 $g^*$ は点ごとに $g^*(x)(\Phi(v), \Phi(w)) := g(x)(v,w)$ で定義され、$\Phi$ の核が $g(x)$ の同相部分空間であるため、well-defined である。
• $\Phi$ の滑らか性は $g$ の滑らか性から従い、局所自明性が成り立つ近傍では誘導された $g^*$ は滑らかである。
• $g^*$ の構成には、$\Phi|_{V_0}$ が双対ファイバー上への微分同相写像となるような部分空間 $V_0 \subset \pi^{-1}(x)$ の存在が必要であり、これにより双対バンドルの局所自明性が可能になる。
• 双対擬計量 $g^*$ の滑らか性に局所自明性が必要かどうかは、まだ未解決の問題であり、本稿ではそれが厳密に必要であるかどうかを確認できない。