[論文レビュー] Distributed Computation of Sparse Cuts

Atish Das Sarma, Anisur Rahaman Molla+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ランダムウォークおよびPageRankを用いて、無向ネットワークにおけるスパースカットを高速に分散処理で計算する2つのアルゴリズムを提示する。これらのアルゴリズムは、最適なコンductance φ を事前に知らない状態でも、コンductanceの近似比 Õ(√φ) を達成し、Õ(1/φ + n)ラウンドで処理を完了する。また、良好に接続された局所的クラスターや重要なボトルネックエッジを特定可能である。

ABSTRACT

Finding sparse cuts is an important tool in analyzing large-scale distributed networks such as the Internet and Peer-to-Peer networks, as well as large-scale graphs such as the web graph, online social communities, and VLSI circuits. In distributed communication networks, they are useful for topology maintenance and for designing better search and routing algorithms. In this paper, we focus on developing fast distributed algorithms for computing sparse cuts in networks. Given an undirected $n$-node network $G$ with conductance $ϕ$, the goal is to find a cut set whose conductance is close to $ϕ$. We present two distributed algorithms that find a cut set with sparsity $ ilde O(\sqrtϕ)$ ($ ilde{O}$ hides $\polylog{n}$ factors). Both our algorithms work in the CONGEST distributed computing model and output a cut of conductance at most $ ilde O(\sqrtϕ)$ with high probability, in $ ilde O(\frac{1}{b}(\frac{1}ϕ + n))$ rounds, where $b$ is balance of the cut of given conductance. In particular, to find a sparse cut of constant balance, our algorithms take $ ilde O(\frac{1}ϕ + n)$ rounds. Our algorithms can also be used to output a {\em local} cluster, i.e., a subset of vertices near a given source node, and whose conductance is within a quadratic factor of the best possible cluster around the specified node. Both our distributed algorithm can work without knowledge of the optimal $ϕ$ value and hence can be used to find approximate conductance values both globally and with respect to a given source node. We also give a lower bound on the time needed for any distributed algorithm to compute any non-trivial sparse cut --- any distributed approximation algorithm (for any non-trivial approximation ratio) for computing sparsest cut will take $ ilde Ω(\sqrt{n} + D)$ rounds, where $D$ is the diameter of the graph.

研究の動機と目的

• 最適なコンダクタンスを事前に知らない状態で、大規模ネットワークにおけるスパースカットを効率的に分散処理で計算するアルゴリズムの開発。
• ルーティングおよびトポロジーメンテナンスの向上を目的として、分散ネットワークにおける良好に接続された局所的クラスターや重要なボトルネックエッジの特定を可能にする。
• 小規模なメッセージサイズを持つCONGESTモデルにおいて、スパースカット計算に確実な近似保証を提供すること。
• 任意の分散スパースカット近似アルゴリズムにおける時間計算量の下界を確立すること。
• スケーラブルで正確なスパースカット検出を通じて、ネットワーク設計、クラスタリング、混雑制御の応用を支援すること。

提案手法

• ノード訪問確率分布の推定にランダムウォークを用いることで、分散的にコンダクタンスを近似可能にする。
• PageRankに基づく手法を適用し、与えられたソースノードの周辺にコンダクタンスが低い局所的クラスターを計算することで、クラスタ内接続性を高める。
• 二段階のアルゴリズムを設計：第一段階では複数のソースノードからランダムウォークを実行し、カットのスパarsityを推定する。第二段階では、コンダクタンスに基づいてパーティションを計算および評価する。
• 各ノードが1ラウンドあたりO(1)のメッセージを送信できるCONGESTモデルを活用し、通信効率を確保する。
• スパニング接続部分グラフ検証問題への還元を用いて、スパースカット計算の時間計算量の下界を導出する。
• ランダムウォーク手順をO(log n)回繰り返すことで、高確率での正しさを強化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各ノードあたり多対数時間で、最適値に Õ(√φ) の近さでコンダクタンスを持つスパースカットを計算できる分散アルゴリズムを設計可能か？
• RQ2 最適なφを事前に知らない状態でも、与えられたソースノードの周辺に最良のクラスターに近いコンダクタンスを持つ局所的クラスターを計算可能か？
• RQ3 ネットワーク内で非自明なスパースカットを計算するための、任意の分散アルゴリズムに必要な最小時間計算量は何か？
• RQ4 優れた近似保証を達成しつつも、最適なコンダクタンスφの事前知識に依存せずに済ませられるか？
• RQ5 ランダムウォークとPageRankをどれだけ組み合わせることで、分散スパースカット計算の効率を向上できるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、高確率で Õ(1/φ + n)ラウンドで、コンダクタンスが Õ(√φ) 以内のカットを計算する。ここでφはネットワークのコンダクタンスである。
• 一定のバランスを持つカットの場合、実行時間は Õ(1/φ + n)ラウンドであり、これは多対数要因を除いて下界と一致する。
• φの事前知識がなくても、最適クラスターのコンダクタンスの2乗要因以内の性能を持つソースノード周辺の局所的クラスターを計算可能である。
• 任意の分散近似アルゴリズムについて、スパースカットの時間計算量の下界として Õ(√n + D) ラウンドが確立された。ここでDはグラフの直径である。
• アルゴリズムは通信効率が高く、1ラウンドあたり小さなメッセージのみを用い、標準的なCONGESTモデルで適用可能である。
• 結果は、重要なエッジや良好に接続されたコンponentsの特定に利用可能であり、トポロジーに配慮したネットワーク設計およびメンテナンスを支援する。