[論文レビュー] Doubly Nonnegative Tensors and Completely Positive Tensors

Ziyan Luo, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 24被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、行列から任意の順序のテンソルへ二重非負性を一般化し、非負の成分と非負のH固有値を備えることで、二重非負テンソルを定義する。すべての正のカウチーテンソルが完全正であることを確立し、完全正性を検証するための前処理を施したファン＝チョウアルゴリズムを提案する。また、奇数順の場合に行列の類似性が崩れるなど、二重非負テンソル錐と完全正テンソル錐の構造的差異を明らかにする。

ABSTRACT

The concept of double nonnegativity of matrices is generalized to doubly nonnegative tensors by means of the nonnegativity of all entries and $H$-eigenvalues. This generalization is defined for tensors of any order (even or odd), while it reduces to the class of nonnegative positive semidefinite tensors in the even order case. We show that many nonnegative structured tensors, which are positive semidefinite in the even order case, are indeed doubly nonnegative as well in the odd order case. As an important subclass of doubly nonnegative tensors, the completely positive tensors are further studied. By using dominance properties for completely positive tensors, we can easily exclude some doubly nonnegative tensors, such as the signless Laplacian tensor of a nonempty $m$-uniform hypergraph with $m\geq 3$, from the class of completely positive tensors. Properties of the doubly nonnegative tensor cone and the completely positive tensor cone are established. Their relation and difference are discussed. These show us a different phenomenon comparing to the matrix case. By employing the proposed properties, more subclasses of these two types of tensors are identified. Particularly, all positive Cauchy tensors with any order are shown to be completely positive. This gives an easily constructible subclass of completely positive tensors, which is significant for the study of completely positive tensor decomposition. A preprocessed Fan-Zhou algorithm is proposed which can efficiently verify the complete positivity of nonnegative symmetric tensors. We also give the solution analysis of tensor complementarity problems with the strongly doubly nonnegative tensor structure.

研究の動機と目的

• 行列から任意の順序（偶数および奇数を含む）のテンソルへの二重非負性の概念を拡張すること。
• 特に奇数順の場合に、二重非負テンソル錐と完全正テンソル錐の構造的差異を特定すること。
• すべての正のカウチーテンソルが完全正であることを証明することにより、完全正テンソルの新たな部分クラスを同定すること。
• 非負対称テンソルにおける完全正性の検証に効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 強く二重非負のテンソル構造の下でのテンソル補完問題を分析すること。

提案手法

• すべての成分とH固有値が非負であることを要件として、二重非負性をテンソルへ一般化する。
• 特定の二重非負テンソル（例：m ≥ 3 のm一様ハイパーグラフの符号なしラプラシアンテンソル）が完全正でないことを除外するための優位性特性を導入する。
• スペクトル特性とテンソル分解理論を用いて、二重非負テンソル錐と完全正テンソル錐の関係を確立する。
• 非負対称テンソルにおける完全正性の検証を効率的に行うため、ファン＝チョウアルゴリズムの前処理版を提案する。
• 強い二重非負テンソル構造の下で、テンソル補完問題の枠組みを適用し、解の解析を実施する。
• 完全正テンソル部分クラスの構成可能性を示すための標準例として、正のカウチーテンソル構造を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重非負性の概念を、行列から任意の順序のテンソルへどのように一般化できるか？
• RQ2 奇数順の場合に、二重非負テンソル錐と完全正テンソル錐の間にはどのような構造的差異が存在するか？
• RQ3 非負テンソルのどのクラスが、偶数順の正定値半定値ケースを越えて完全正であると証明できるか？
• RQ4 非負対称テンソルにおける完全正性の検証に効率的なアルゴリズムを設計できるか？
• RQ5 強い二重非負テンソル構造の下で、テンソル補完問題はどのように振る舞うか？

主な発見

• 任意の順序の正のカウチーテンソルは完全正であり、完全正テンソルの容易に構成可能な部分クラスを提供する。
• m ≥ 3 である非空のm一様ハイパーグラフの符号なしラプラシアンテンソルは、二重非負ではあるが完全正ではない。これは行列の場合とは顕著な違いを示しており、重要な差異を明らかにする。
• 奇数順テンソルにおいて、二重非負テンソル錐と完全正テンソル錐は顕著に異なり、行列の場合とは異なり、特定の条件下で一致しない。
• 前処理を施したファン＝チョウアルゴリズムにより、非負対称テンソルにおける完全正性の検証が効率的に行える。
• 強く二重非負のテンソル構造を持つテンソル補完問題は、明確な解の解析が可能であり、行列設定での既知の結果を拡張する。
• 優位性特性は、特定の二重非負テンソルが完全正でないことを除外する実用的なツールを提供し、構造的特徴付けを強化する。