[論文レビュー] D-branes and Azumaya noncommutative geometry: From Polchinski to Grothendieck

Chien‐Hao Liu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 151被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、アズマヤ非可換 $C^{\infty}$-多様体とその上で定義された基本的モジュールを備えた空間への準同型を用いて、カルラヤ多様体内のA型D-braneの幾何的枠組みを提案する。これによりポルチンスキー＝グロタンディークの仮説が実現され、D-braneの力学的現象（例えば、ブレイン＝アンチブレインのキャンセル、短い/長いストリングの遷移など）と準同型の変形の間に一貫した対応関係を確立し、非可換幾何学と弦理論の現象論の深い関係を明らかにする。

ABSTRACT

We review first Azumaya geometry and D-branes in the realm of algebraic geometry along the line of Polchinski-Grothendieck Ansatz from our earlier work and then use it as background to introduce Azumaya $C^{\infty}$-manifolds with a fundamental module and morphisms therefrom to a projective complex manifold. This gives us a description of D-branes of A-type. Donaldson's picture of Lagrangian and special Lagrangian submanifolds as selected from the zero-locus of a moment map on a related space of maps can be merged into the setting. As a pedagogical toy model, we study D-branes of A-type in a Calabi-Yau torus. Simple as it is, it reveals several features of D-branes, including their assembling/disassembling. The 4th theme of Sec. 2.4, the 2nd theme of Sec. 4.2, and Sec. 4.3 are to be read respectively with Gómez-Sharpe (arXiv:hep-th/0008150), Donagi-Katz-Sharpe (arXiv:hep-th/0309270), and Denef (arXiv:hep-th/0107152). Some string-theoretical remarks are given at the end of each section.

研究の動機と目的

• カルラヤ多様体内のA型D-braneの幾何的記述を、アズマヤ非可換 $C^\infty$-多様体とその上の基本的モジュールを備えた空間への準同型を用いて、ポルチンスキー＝グロタンディークの仮説を拡張すること。
• D-braneの力学的現象（例えば、集合・分解、ブレイン＝アンチブレインのキャンセルなど）を、アズマヤ空間からの準同型に基づく枠組みで統一的に記述すること。
• 物理的弦理論的現象（例：短いストリングと長いストリングの巻き方、トーションレスストリング）と、アズマヤ構造からの準同型の幾何的変形との間の対応関係を確立すること。
• アズマヤ非可換多様体の文脈において、ケーラー微分形式とテンソル積を導入し、非可換設定における微分幾何学的道具を一般化すること。
• 特にカルラヤトーラスの場合に、表現論的アトラスとスタック的構造を用いてD-brane構成の数学的基盤を提供すること。

提案手法

• アズマヤ $C^\infty$-多様体とその上の基本的モジュールからの準同型を用いてD-braneを表現し、ポルチンスキー＝グロタンディークの仮説を一般化する。
• 写像の空間におけるモーメント写像の概念を応用し、特別ラグランジュ部分多様体とその変形を零点として記述する。
• アズマヤ非可換多様体に対してケーラー微分形式とそのテンソル積を導入し、非可換設定における微分幾何学の一般化を図る。
• カルラヤトーラス上のD-braneの玩具的モデルを用いて、ブレイン＝アンチブレインのキャンセルや短いストリングから長いストリングへの遷移を引き起こす準同型の変形を図示する。
• 幾何的構造（例：gerbes, twisted sheaves, $\mathcal{D}$-modules）と物理的弦理論的構造（例：マトリクスストリング、$B$-場）の相乗作用に依存する。
• フィルター構造とアマルガメーション／分解メカニズムを用い、準同型の変形を通じてD-braneの融合と崩壊過程をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルラヤ多様体内のA型D-braneは、アズマヤ非可換 $C^\infty$-多様体からの準同型を用いて、どのように体系的に記述可能か？
• RQ2 基本的モジュールを備えたアズマヤ空間からの準同型の文脈において、ブレイン＝アンチブレインのキャンセルの幾何的メカニズムは何か？
• RQ3 弦理論における短いストリングと長いストリングの巻き方の違いは、アズマヤ枠組みにおける準同型の変形からどのように生じるか？
• RQ4 アズマヤ非可換幾何学の枠組みは、IIA型超弦理論におけるトーションレスストリングを自然にどのように記述するか？
• RQ5 非可換幾何学を用いて、ポルチンスキー＝グロタンディークの仮説を、非アーベル的および高ランクのD-brane構成に一般化する方法は何か？

主な発見

• ブレイン＝アンチブレインのキャンセルのメカニズムは、非定数のアズマヤ空間からへの準同型の変形として実現され、その残渣的対象は0次元の像サイクルとして得られる。
• 短いストリングから長いストリングへの遷移は、複数の像サイクルがホモロジーにおいて1つの高多重度サイクルに合体する準同型の変形によってモデル化され、$H_1(S^1 \times C; \mathbb{C})$ において $(1;1,0)+(1;1,0)+(2;1,0) \to (4;3,0)$ の遷移で図示される。
• D-braneの統合と分解のプロセスは、特別ラグランジュサイクルのホモロジー類にのみ依存するため、トポロジカルに安定しており、カルラヤトーラスのモジュライパラメータの変化に対しても成立する。
• この枠組みは、特別ラグランジュ部分多様体を写像空間内の零点として記述するドナルドソンのモーメント写像の図式を自然に組み込む。今や、アズマヤ準同型の文脈に埋め込まれている。
• ブレイン＝アンチブレインの消失後に残るエネルギーの塊は、最終的な定数準同型における基本的モジュールのプッシュフォワードとして特定され、キャンセル過程における残余エネルギーの幾何的起源を示唆する。
• IIA理論におけるトーションレスストリングは、アズマヤ $S^1$ からNS 5-braneへの準同型と関連づけられ、元のD2-braneの非可換構造が結果として得られる1次元の退化ストリングに引き継がれることが示唆される。