[論文レビュー] Efficient Graph Algorithms for Network Analysis

Tong-Wook Shinn, Tadao Takaoka|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、単位辺コストを伴う有向グラフにおける1-センター・グラフ・センター（GC）問題およびグラフ・ボトルネック（GB）問題に対して、全ペア最短経路（APSP）計算を回避するために、ブール行列累乗の二分探索を用いる効率的なアルゴリズムを提示する。時間計算量は Õ(n².³⁷³) に達し、GCとGBの従来の時間計算量の上限である O(n².⁵⁷⁵) および O(n².⁶⁸⁸) よりも改善されている。また、距離/フロー半群を用いて全フロー値に対する最短経路を計算するための SP-AF 問題を導入し、この構造上でフロイド法を一般化することで解法を提示する。

ABSTRACT

The GC problem is to identify a pre-determined number of center vertices such that the distances or costs from (or to) the centers to (or from) other vertices is minimized. The bottleneck of a path is the minimum capacity of edges on the path. The Bottleneck Paths (BP) problem is to compute the paths that give us the maximum bottleneck values between pairs of vertices. The Graph Bottleneck (GB) problem is to find the minimum bottleneck value out of bottleneck paths for all possible pairs of vertices. We give two similar algorithms that are based on binary search to solve the 1-center GC problem and the GB problem on directed graphs with unit edge costs. We achieve $ ilde{O}(n^{2.373})$ worst case time complexity for both the 1-center GC problem and the GB problem, where $n$ is the number of vertices in the graph. This is better than the straightforward methods of solving the two problems in $O(n^{2.575})$ and $O(n^{2.688})$ time bounds, respectively. We then combine the Bottleneck Paths (BP) problem with the well known Shortest Paths (SP) problem to compute the shortest paths for all possible flow values. We call this problem the Shortest Paths for All Flows (SP-AF) problem. We show that if the flow demand is uncertain, but between two consecutive capacity values, the unique shortest path can be computed to push that flow. If the uncertainty stretches over two intervals, we need to prepare two shortest paths to accommodate the uncertainty, etc. In introducing this new problem, we define a new semi-ring called the distance/flow semi-ring, and show that the well known algorithm by Floyd can be used over the distance/flow semi-ring to solve the All Pairs Shortest Paths for All Flows (APSP-AF) problem.

研究の動機と目的

• ネットワーク解析における1-センター・グラフ・センター（GC）およびグラフ・ボトルネック（GB）問題のより高速なアルゴリズムの開発。
• 全ペア最短経路（APSP）および全ペアボトルネック経路（APBP）の計算コストを回避するため、行列累乗に対する二分探索を用いる。
• 距離/フロー半群を定義し、フロイド法の一般化により、全フロー値に対する最短経路を計算する「全フローに対する最短経路（SP-AF）」問題を導入・解法する。
• 従来の手法と比較して、GCおよびGB問題の漸近的時間計算量を改善すること。
• 距離・フローの非比較可能なペアを処理できる仕組みを提供し、変動するフローデマンドに応じた最短経路の効率的計算を可能にすること。

提案手法

• 隣接行列 B の繰り返し二乗法を用いて、増加する経路長までの到達可能性を計算し、直径 Δ に対する二分探索の基盤を構築する。
• B^ℓ が ℓ 本の辺以内に到達可能なすべてのペアを捉えるブール行列乗算フレームワークを採用し、最適なセンター半径に対する二分探索を可能にする。
• 閾値 t に対する二分探索を適用し、P(C) = 1 となる最小の Δ を特定する。ここで P(C) は、ある頂点が t ステップ以内にすべての他の頂点に到達可能かどうかをチェックする関数である。
• 各行列要素に非比較可能な (距離, フロー) ペアの集合を格納する距離/フロー半群を導入し、自然順序に従ってソートする。
• フロイドの全ペア最短経路アルゴリズムを距離/フロー半群上に一般化し、APSP-AF 問題を解く A* の閉包を計算する。
• フロー値を比較することで、(距離, フロー) ペアの集合同士の乗算を O(|x| + |y|) 時間で実装するカスタム乗算手順を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全APSP計算を伴わずに、O(n².⁵⁷⁵) より速く1-センター・グラフ・センター問題を解くことは可能か？
• RQ2 明示的なAPBP計算を回避することで、O(n².⁶⁸⁸) よりも速くグラフ・ボトルネック問題を解くことは可能か？
• RQ3 ネットワーク内の頂点ペア間で、すべての可能なフロー値に対する最短経路を効率的に計算する方法は何か？
• RQ4 距離とフロー情報を効率的な全ペア計算を可能にするように、半群構造を定義することは可能か？
• RQ5 全APSPを計算せずに、行列累乗に対する二分探索を用いて、1-センターの最小半径を特定することは可能か？

主な発見

• 1-センター GC 問題は Õ(n².³⁷³) 時間で解け、Zwick (2002) が提唱した従来の最良境界 O(n².⁵⁷⁵) よりも改善された。
• グラフ・ボトルネック（GB）問題は Õ(n².³⁷³) 時間で解け、Duan と Pettie (2009) が提唱した従来の境界 O(n².⁶⁸⁸) よりも改善された。
• SP-AF 問題は距離/フロー半群を用いて形式化され、全フロー値に対する最短経路の計算が可能になった。
• 距離/フロー半群上での一般化されたフロイド法を用いることで、APSP-AF 問題は O(tn³) 時間で解けた。ここで t は異なる容量の数を表す。
• 非比較可能な (距離, フロー) ペアの集合同士の乗算は O(|x| + |y|) 時間で実装され、効率的な半群演算を可能にした。
• 全APSPおよびAPBP計算を回避するため、行列累乗に対する二分探索を用いることで、時間計算量を顕著に削減した。