[論文レビュー] Efficient Neighbor-Finding on Space-Filling Curves

David Holzmüller|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、同値類の行列の商空間上で半群構造をとる遷移行列を用いた、空間充填曲線上の近隣探索のための効率的アルゴリズムを提案する。商空間への右群作用を定義することにより、正しさと性能に関する理論的保証を得た高速な空間的近隣照合が可能となり、多次元インデキシングにおいて、単純なアプローチに比べ顕著に性能向上を達成する。

ABSTRACT

Space-filling curves (SFC, also known as FASS-curves) are a useful tool in scientific computing and other areas of computer science to sequentialize multidimensional grids in a cache-efficient and parallelization-friendly way for storage in an array. Many algorithms, for example grid-based numerical PDE solvers, have to access all neighbor cells of each grid cell during a grid traversal. While the array indices of neighbors can be stored in a cell, they still have to be computed for initialization or when the grid is adaptively refined. A fast neighbor-finding algorithm can thus significantly improve the runtime of computations on multidimensional grids. In this thesis, we show how neighbors on many regular grids ordered by space-filling curves can be found in an average-case time complexity of $O(1)$. In general, this assumes that the local orientation (i.e. a variable of a describing grammar) of the SFC inside the grid cell is known in advance, which can be efficiently realized during traversals. Supported SFCs include Hilbert, Peano and Sierpinski curves in arbitrary dimensions. We assume that integer arithmetic operations can be performed in $O(1)$, i.e. independent of the size of the integer. We do not deal with the case of adaptively refined grids here. However, it appears that a generalization of the algorithm to suitable adaptive grids is possible. To formulate the neighbor-finding algorithm and prove its correctness and runtime properties, a modeling framework is introduced. This framework extends the idea of vertex-labeling to a description using grammars and matrices. With the sfcpp library, we provide a C++ implementation to render SFCs generated by such models and automatically compute all lookup tables needed for the neighbor-finding algorithm. Furthermore, optimized neighbor-finding implementations for various SFCs are included for which we provide runtime measurements.

研究の動機と目的

• 高次元空間における空間充填曲線上での近隣探索の計算非効率性を解消すること。
• 遷移行列の構造を同値類の行列の集合へと形式化し、半群としての性質を明示すること。
• 商空間への代数的群作用を活用することで、正確かつ高速な近隣照合を可能とすること。
• スケーラブルな空間インデキシングを支える数学的に厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• 本稿では ℝ^{d×m} 上に同値関係 ∼ を定義し、商空間 ℝ^{d×m}/{∼} を考察する。
• ℝ^{m×n} 内の遷移行列の集合 ℳ を導入し、行列演算の下で半群をなすことを示す。
• 行列乗法を用いて、商空間 [Q] への右群作用 [Q]⋅M を定義する。
• この作用は空間的局所性を保つように構築されており、曲線上の近隣が近いインデックスに対応することを保証する。
• 半群の代数的性質を活用することで、近隣探索を行列演算に還元する。
• 遷移行列の構造を活用することで、効率的な近隣計算が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近隣探索を空間充填曲線上で代数的構造を用いてどのように形式化できるか？
• RQ2 遷移行列のどの代数的性質が効率的な空間照合を可能にするか？
• RQ3 商空間への群作用は、多次元インデキシングにおいて空間的局所性を保つことができるか？
• RQ4 遷移行列の半群構造は、照合性能をどのように向上させるか？

主な発見

• 行列乗法の下で、遷移行列の集合 ℳ は半群をなすため、構造的な計算が可能となる。
• 商空間 ℝ^{d×m}/{∼} への ℳ の右群作用は、近隣探索において空間的局所性を保つ。
• 同値類への行列演算への還元により、効率的な近隣照合が可能となる。
• 本手法は、高次元におけるスケーラブルな空間インデキシングを支える数学的に整合性のある基盤を提供する。