[論文レビュー] Empowering the Configuration-IP $-$ New PTAS Results for Scheduling with Setups Times

Klaus Jansen, Kim-Manuel Klein+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2018

Scheduling and Optimization Algorithms被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、.setup timesを伴うスケジューリング問題に対して、古典的構成整数計画法の拡張版であるモジュール構成IP（MCIP）を導入する。これにより、setup timesを含むスケジューリング問題に対して、多項式時間近似スキーム（EPTAS）を効率的に実現できる。setup timesとジョブ部品を丸められたコンテナサイズに統合し、n-fold整数計画法を活用することで、分割可能な場合と非分割可能な場合のそれぞれについて、$1/\varepsilon$ に対して単一指数的および二重指数的依存性を有するEPTASを達成した。これは、従来の定数因子近似解法と比べて顕著に改善されたものである。

ABSTRACT

Integer linear programs of configurations, or configuration IPs, are a classical tool in the design of algorithms for scheduling and packing problems, where a set of items has to be placed in multiple target locations. Herein a configuration describes a possible placement on one of the target locations, and the IP is used to chose suitable configurations covering the items. We give an augmented IP formulation, which we call the module configuration IP. It can be described within the framework of n-fold integer programming and therefore be solved efficiently. As an application, we consider scheduling problems with setup times, in which a set of jobs has to be scheduled on a set of identical machines, with the objective of minimizing the makespan. For instance, we investigate the case that jobs can be split and scheduled on multiple machines. However, before a part of a job can be processed an uninterrupted setup depending on the job has to be paid. For both of the variants that jobs can be executed in parallel or not, we obtain an efficient polynomial time approximation scheme (EPTAS) of running time $f(1/\\varepsilon)\ imes \\mathrm{poly}(|I|)$ with a single exponential term in $f$ for the first and a double exponential one for the second case. Previously, only constant factor approximations of $5/3$ and $4/3 + \\varepsilon$ respectively were known. Furthermore, we present an EPTAS for a problem where classes of (non-splittable) jobs are given, and a setup has to be paid for each class of jobs being executed on one machine.

研究の動機と目的

• 古典的構成IPが追加制約のため失敗するsetup timesを伴うスケジューリング問題に対処すること。
• setup timesとジョブ部品を構造化されたコンテナに統合する新しいIP定式化法—モジュール構成IP（MCIP）—を考案すること。
• setup timesを伴う分割可能および非分割可能なスケジューリングバリアントに対して、効率的なEPTASを設計すること。
• モジュールサイズに対する幾何的および算術的丸めを適用することで、近似スキームの実行時間を短縮すること。
• MCIPがジョブクラスごとに別々のsetup timeを要する問題へも適用可能であることを示すこと。

提案手法

• 古典的構成IPの拡張版として、各モジュールがsetup timeと関連するジョブ部品またはバッチを表すモジュール構成IP（MCIP）を提案する。
• 各マシンの負荷を、各コンテナがsetup timeと対応するジョブピースを保持する形で、コンテナサイズの合計としてモデル化する。コンテナサイズは幾何的および算術的丸めを用いて丸められる。
• n-fold整数計画法を用いてMCIPを効率的に解き、少数のブロックタイプに対して既知の tractability を活用する。
• 簡略化技術を適用：makespanを推測し、異なる処理時間の数を制限し、処理時間とsetup時間を $\varepsilon^2 T$ でスケーリングする。
• コンテナサイズを $\mathcal{O}(1/\varepsilon \log 1/\varepsilon)$ のサイズの集合 $\bar{H}$ に丸めることで、$\bar{H}$-構造スケジュールを導入し、パッケージングに十分な空間を確保する。
• 丸め処理によるコンテナサイズの増加を考慮し、処理時間の上限 $\bar{T}$ と $\breve{T}$ を調整する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的構成IPは、スケジューリング問題におけるsetup timesをより効果的に扱えるように拡張可能か？
• RQ2 setup timesを伴うスケジューリング問題に対して、$1/\varepsilon$ に対して単一または二重指数的依存性を有するEPTASを設計することは可能か？
• RQ3 コンテナサイズに対する幾何的および算術的丸めにより、モジュールタイプの数を削減しつつ解の品質を保持できるか？
• RQ4 n-fold整数計画法技術を用いてMCIPをどのように効率的に解けるか？
• RQ5 MCIPは、各ジョブクラスごとにsetup costが発生するような問題へ、どの程度一般化可能か？

主な発見

• 分割可能なスケジューリングモデルに対して、実行時間 $2^{\mathcal{O}(1/\varepsilon^2 \log^3 1/\varepsilon)} \cdot \mathrm{poly}(n,m)$ のEPTASが達成された。
• 非分割可能なsetupクラスモデルに対して、実行時間 $2^{\mathcal{O}(1/\varepsilon^3 \log^4 1/\varepsilon)} \cdot \mathrm{poly}(n,m)$ のEPTASが達成された。
• 幾何的および算術的丸めにより、MCIPにおける異なるモジュールサイズの数が $\mathcal{O}(1/\varepsilon \log 1/\varepsilon)$ に削減され、n-fold IPによる効率的解法が可能になった。
• MCIP定式化法により、setup timesとジョブ部品が丸められたサイズのコンテナとしてモデル化され、実行可能性と近似保証が保持された。
• 従来の近似解法 $5/3$ および $4/3 + \varepsilon$ よりも改善され、両ケースで $(1+\varepsilon)$-近似が達成された。
• MCIPフレームワークは、各マシンごとにジョブクラスごとにsetup costが発生する問題へも一般化可能である。