[論文レビュー] Entrance and exit at infinity for stable jump diffusions

Leif Doering, Andreas E. Kyprianou|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\alpha \in (0,2)$ である $\alpha$-安定 Lévy 確率過程によって駆動される1次元安定ジャンプ拡散過程における無限大での到着および爆発の必要十分条件を確立する。Lamperti–Kiu 表現、Wiener–Hopf 因数分解およびパス変換を用いて、$\alpha \in (0,1)$ の場合に有限時間内に爆発が発生することを示し、$\alpha \in [1,2)$ の場合に、拡散係数 $\sigma$ の成長に応じて $+\infty$ や $-\infty$ からの到着が可能であることを示す。これらの結果は、無限境界を持つ拡散過程に対する Feller の古典的境界分類をジャンプ付き拡散過程へと拡張するものである。

ABSTRACT

In his seminal work from the 1950s, William Feller classified all one-dimensional diffusions on $-\infty\leq a<b></b>

研究の動機と目的

• 拡散過程の Feller の境界分類を無限境界を持つ1次元安定ジャンプ拡散過程へと拡張すること。
• 過程が有限時間内に無限大で爆発するか、$+\infty$ や $-\infty$ から到着するかを特定すること。
• 無限大での到着および爆発に関する拡散係数 $\sigma$ の必要十分条件を同定すること。
• 古典的 Hille–Yosida 理論の制限を克服するため、安定過程に向けた現代的なパス変換技術を用いること。

提案手法

• 安定過程を時刻変換された Lévy 確率過程として表現するため、Lamperti–Kiu 表現を用いる。
• Lévy 確率過程に対する新しい Wiener–Hopf 因数分解を適用し、初到達時刻および初到達時刻の解析を行う。
• Riesz–Bogdan–Żak 変換を用いて、自己相似マルコフ過程の到着分布と Lévy 確率過程の永続的積分を関連付ける。
• Hunt–Nagasawa 双対性および Getoor の再帰性・非再帰性の特徴づけを用いて境界挙動を研究する。
• フラクチュエーション理論およびスケール関数を用いて、到着および爆発に関する $\sigma$ の積分的条件を導出する。
• 古典的セミ群理論とパスワイズ変換を組み合わせ、到着分布の存在性および正則性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定ジャンプ拡散過程（$\alpha \in (0,2)$）が無限大で有限時間内に爆発する条件は何か？
• RQ2 このような過程において $+\infty$ や $-\infty$ が到着境界となるのはいつか？
• RQ3 ジャンプの存在が、ジャンプのない拡散過程と比較して境界分類に与える影響は何か？
• RQ4 拡散係数 $\sigma$ の成長率が、無限大での到着または爆発を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 両方の $+\infty$ および $-\infty$ からの到着が同時に起こり得るか？ その条件は何か？

主な発見

• 有限時間内に無限大で爆発が発生するのは、$\alpha \in (0,1)$ の場合に限る。これは、安定 Lévy 確率過程の重尾的性質に起因し、ドリフトや拡散係数にかかわらず成立する。
• $\alpha \in [1,2)$ の場合、$+\infty$ からの到着は、$\int^{\infty} x \sigma(x)^{-2} dx < \infty$ が成り立つときに限り可能であり、これは Feller の条件をジャンプ付き拡散過程へと拡張したものである。
• $\alpha \in [1,2)$ の場合、$\sigma$ の $-\infty$ における振る舞いに応じて、$-\infty$ からの到着も同様の積分的条件を満たす場合に可能である。
• $\alpha \in (1,2)$ の場合、$\sigma$ が適切な成長条件を満たすとき、$+\infty$ および $-\infty$ からの両方の到着が同時に可能である。
• $\alpha = 1$ の場合、$\sigma$ が安定過程のポテンシャル測度に関連する対数的可積分性条件を満たすとき、$\pm\infty$ からの到着が可能である。
• 本稿は、古典的 Feller 分類がジャンプ付き拡散過程へ直接拡張できないことを確立しており、ジャンプ付き過程では爆発と無限大からの到着の両方が発生しうるが、これは拡散的設定には存在しない現象である。