[論文レビュー] Equidistribution on the space of rank two vector bundles over the projective line

Vivek Shende, Jacob Tsimerman|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ヘーグナー点のデュークの等分布定理の関数体版を確立し、双曲的曲線が射影直線 ℙ¹ 上のランク2ベクトル束のモジュライ空間に誘導する測度が、 genus が無限大に近づくにつれて自然測度に収束することを証明する。証明はゼータ関数の操作と曲線のリーマン予想を用い、ジャコビアンにおける特別な除部分布の交点を幾何的に数えることにより、ペアの束へと拡張される。

ABSTRACT

Fix a finite field. A hyperelliptic curve determines a measure on the discrete space of rank two bundles on the projective line: the mass of a given vector bundle is the number of line bundles whose pushforward it is. In a sequence of hyperelliptic curves whose genera tend to infinity, these measures tend to the natural measure on the space of rank two bundles. This is a function field analogue of Duke's theorem on the equidistribution of Heegner points, and can be proven similarly: it follows from a manipulation of zeta functions, plus the Riemann Hypothesis for curves. Likewise, a sequence of hyperelliptic curves equipped with line bundles gives rise to a sequence of measures on the space of pairs of rank 2 bundles. We give a conjectural classification of the possible limit measures which arise; this is a function field analogue of the "Mixing Conjecture" of Michel and Venkatesh. As in the number field setting, ergodic theory suffices when the line bundle is sufficiently special. For the remaining bundles, we turn to geometry and count points on intersections of translates of loci of special divisors in the Jacobian of a hyperelliptic curve. To prove equidistribution, we would require two results. The first, we prove: the upper cohomologies of these loci agree with the cohomology of the Jacobian. The second, which we establish in characteristic zero and conjecture in characteristic p, is that the sum of the Betti numbers of these spaces grows at most as the exponential of the genus of the hyperelliptic curve.

研究の動機と目的

• 射影直線 ℙ¹ 上のランク2ベクトル束のモジュライ空間へのラインバンドル測度の押し出しの等分布を確立すること。
• この結果をペアの束の測度へと拡張し、ミケルとヴェンカテーシュのミキシング予想に類似した極限分布を予想すること。
• 特に、ハイパーオービック曲線のジャコビアンにおける特別な除部分布の平行移動の交点上の点数を数える幾何的技法を用いて、等分布を証明すること。
• これらの特別な除部分布のコホロジー群およびベッチ数の上限を示し、正の特徴値における等分布に不可欠な結果を得ること。

提案手法

• 双曲的曲線が誘導する Bun₂(ℙ¹) 上の測度の等分布を証明するために、ゼータ関数の操作と曲線のリーマン予想を用いる。
• 特別な除部分布の上部コホロジー群の上限を示すことで、等分布問題を縮小し、それがジャコビアン自体のコホロジーと一致することを示す。
• ラインバンドルが十分に特別な場合、エルゴディック理論を適用し、残りのケースでは幾何的数え上げに切り替える。
• ハイパーオービック曲線のジャコビアンにおける特別な除部分布の平行移動の幾何を研究し、点数の制御を行う。
• 完全フレームドベクトル束とヘッケ測度の枠組みを用いて、自動的データと幾何的データを関連付ける。
• 対称空間の二重コセット構造を用いて、ランク1トーラスから PGL₂ への押し出し写像を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的曲線のピック群から Bun₂(ℙ¹) への押し出し測度は、genus が無限大に近づくにつれて等分布するか？
• RQ2 双曲的曲線にラインバンドルを備えた場合、可能な極限測度は何か？ そして、関数体設定におけるミキシング予想とどのように関係するか？
• RQ3 ハイパーオービック曲線のジャコビアンにおける特別な除部分布の上部コホロジー群は、ジャコビアン自体のコホロジーと一致するか？
• RQ4 これらの特別な除部分布のベッチ数の和は、曲線の genus に関して、常に指数関数的に増加するか？ 特に正の特徴値において。
• RQ5 エルゴディック理論が失敗する場合、幾何的技法を用いて正の特徴値においても等分布を確立できるか？

主な発見

• 双曲的曲線のピック群から Bun₂(ℙ¹) への押し出し測度は、genus が無限大に近づくにつれて、ランク2ベクトル束の空間上の自然測度に弱-*収束する。
• ジャコビアンにおける特別な除部分布の上部コホロジー群は、ジャコビアン自体のコホロジーと一致する。これは本稿で証明された重要な技術的結果である。
• 特徴値0の場合、特別な除部分布のベッチ数の和は genus に関して、常に指数関数的に増加し、等分布を支持する。
• 著者らは、正の特徴値においても同様のベッチ数の上限が成り立つと予想しており、これにより等分布の証明が完全化される。
• 十分に特別なラインバンドルの場合は、エルゴディック理論で十分に等分布が証明可能であるが、一般の場合には幾何的数え上げが必要となる。
• 本稿は、デュークの等分布定理の関数体版を確立し、Bun₂(ℙ¹) 上の自然測度が、これらの押し出し測度の弱-*極限として生じることを示した。