[論文レビュー] Equivalence between tails, Grand Lebesgue Spaces and Orlicz norms for random variables without Cramer's condition

Yuriy Kozachenko, Eugeny Ostrovsky+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2017

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Cramérの条件を仮定せず、実数値確率変数について、尾挙動、グランド・レベーグ空間（GLS）ノルム、およびオリチツ・ノルムの間で非漸近的かつ双方向の、定数因子を除いて正確な同値性を確立する。Young-Fenchel変換と尾推定を用いて、基礎的な関数空間にややいなきれいな正則性条件が課された場合に、これらのノルムが互いに同値であることを示し、従来の指数モーメント条件に依存する結果を拡張する。

ABSTRACT

We offer in this paper the non-asymptotical pairwise bilateral exact up to multiplicative constants interrelations between the tail behavior, moments (Grand Lebesgue Spaces) norm and Orlicz's norm for random variables (r.v.), which does not satisfy in general case the Cramer's condition.

研究の動機と目的

• 確率変数について、尾挙動、グランド・レベーグ空間（GLS）ノルム、オリチツ・ノルムの間で非漸近的かつ双方向の対応関係を確立すること。
• 従来のモーメントおよび尾推定に関する研究で一般的に仮定されているCramérの条件を排除すること。
• モーメントの成長および尾の減衰に関する一般条件の下で、これら3つのノルムの正確な定数因子を除いた同値性を提供すること。
• GLSおよびオリチツ空間理論の適用範囲を、重尾型および指数的減衰を示さない分布へと拡張すること。

提案手法

• モーメント生成関数と尾の減衰の関係を、Young-Fenchel変換を用いて関係づけ、Cramérの条件を仮定せずにノルム同値性を導出する。
• チェビシェフ・マルコフの不等式を用いて、モーメント条件から尾の境界を導出したり、逆に尾の境界からモーメント条件を導出したりする。
• 関数 ψ(p) でスケーリングされた p-ノルムの上界に関する上限を用いて、グランド・レベーグ空間ノルムを定義し、h(p) = p ln ψ(p) が凸であると仮定する。
• |u| ≥ e の場合に N[ψ](u) = exp(h*(ln|u|)) で定義されるYoung-Orlicz関数を用いてオリチツ・ノルムを導入し、これによりGLSノルムの双対と関連付ける。
• 確率的優位性に関する尾測度の比較を可能にする、重要な補題を用いる。
• G(x/K) ≤ αG(x) （α ∈ (0,1), K > 1）という条件を用いて、積分可能性を保証し、ノルム同値性の逆方向を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cramérの条件を仮定せず、尾挙動、GLSノルム、オリチツ・ノルムの間の同値性を確立できるか？
• RQ2 成長関数 ψ(p) にどのような条件を課すと、尾の減衰が有限なオリチツ・ノルムを意味し、逆にそれが成り立つのか？
• RQ3 モーメント生成関数におけるスローリング関数の影響は、ノルム同値性にどのように作用するか？
• RQ4 指数モーメントが存在しない場合でも、ノルムの同値性が定数因子を除いて正確に成立するのか？

主な発見

• ψ にややいなきれいな正則性がある限り、尾関数 Tξ(u) が Tξ(u) ≤ exp(−h*ψ(ln(u/(CK)))) を満たすことは、オリチツ・ノルム ||ξ||LN[ψ] が有限であることと同値である。
• ψ(p) = p/L(p) （L は ∞ でスローリングに変化する）の場合、尾推定 Tξ(x) ≤ exp(−C(L)x ln L(x)) が成り立つことは、GLSノルムが有界であることと同値である。
• G(x/K) ≤ αG(x) （α ∈ (0,1), K > 1）という条件は、尾の境界が有限なオリチツ・ノルムを意味することを保証し、逆方向の含意の十分条件を提供する。
• Cramérの条件が成立しなくても、ノルムの同値性は定数因子を除いて正確に成立する。これは、従来の結果が軽尾分布に限られていたのを一般化する。
• 反例により、ψ(p) が有限な台を持つ（つまり b < ∞）場合には同値性が成立しないことが示され、有限台の場合の問題は未解決のまま残っている。
• ψ(p) = p^{1/m}L(p) および ψ(p) = cp[ln(p+1)]^r L(ln p) （L はスローリング）の場合にも結果が成り立つことが確認され、広範な適用可能性が裏付けられた。