[論文レビュー] Equivalent quantum equations with effective gravity in a system inspired by bouncing droplets experiments

Christian Borghesi|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2017

Experimental and Theoretical Physics Studies被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、跳ねるドロップレットにインspiredされた巨視的モデルを提案し、弾性媒体の空間的に変化する脈動によって有効な量子力学的挙動を生成する。一般共変性を用いて定式化し、計量構造を局所的脈動に関連付けることで、有効なシュレーディンガー方程式、ド・ブロイ＝ボームの誘導則、および局所的時間変化に基づく重力的ポテンシャルを導出する。これにより、量子的および相対論的効果の古典的アナロジーが得られる。

ABSTRACT

In this paper we suggest a macroscopic toy system in which a potential-like energy is generated by a non-uniform pulsation of the medium (i.e. pulsation of transverse standing oscillations that the elastic medium of the system tends to support at each point). This system is inspired by walking droplets experiments with submerged barriers. We first show that a Poincare-Lorentz covariant formalization of the system causes inconsistency and contradiction. The contradiction is solved by using a general covariant formulation and by assuming a relation between the metric associated with the elastic medium and the pulsation of the medium. (Calculations are performed in a Newtonian-like metric, constant in time). We find ($i$) an effective Schrodinger equation with external potential, ($ii$) an effective de Broglie-Bohm guidance formula and ($iii$) an energy of the `particle' which has a direct counterpart in general relativity as well as in quantum mechanics. We analyze the wave and the `particle' in an effective free fall and with a harmonic potential. This potential-like energy is an effective gravitational potential, rooted in the pulsation of the medium at each point. The latter, also conceivable as a natural clock, makes easy to understand why proper time varies from place to place.

研究の動機と目的

• 脈動する弾性媒体を用いて、量子力学および一般相対性理論の主要な特徴を再現する古典的巨視的系を開発すること。
• そのような系においてポアンカレ＝ローレンツ共変性が生じる矛盾を回避するため、一般共変性の定式化を採用すること。
• 媒体の局所的脈動と有効な重力ポテンシャルおよび固有時間の変化との間の直接的な対応関係を確立すること。
• 有効理論における粒子のエネルギーおよび運動が、量子力学および一般相対性理論におけるそれらと一致することを示すこと。

提案手法

• 媒体を、空間的に非一様な脈動を示す横方向の定常振動を支持する弾性系としてモデル化する。
• Poincaré-Lorentz共変性に代わって、矛盾を避けるために一般共変性の定式化を適用する。
• 各点における媒体の局所的脈動周波数に依存する計量テンソルを定義する。
• 計量および脈動構造から有効な波動方程式を導出し、外部ポテンシャルを伴うシュレーディンガー型方程式を得る。
• 有効波動ダイナミクスから、ド・ブロイ＝ボームの軌道に類似した誘導則を抽出する。
• 粒子のエネルギーおよび時間発展が、有効理論において相対論的固有時間および量子力学的エネルギーに対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的に変化する脈動を示す古典的巨視的系が、シュレーディンガー方程式のような有効な量子的挙動を再現できるか？
• RQ2 そのような系においてポアンカレ＝ローレンツ共変性の破綻がもたらす矛盾は何か？一般共変性はそれらをどのように解消するか？
• RQ3 非一様な脈動を示す古典的媒体において、有効な重力ポテンシャルの物理的起源は何か？
• RQ4 媒体の局所的脈動は、有効粒子力学における固有時間およびエネルギーの概念とどのように関係するか？
• RQ5 この系における有効粒子力学は、ド・ブロイ＝ボームの誘導式およびエネルギー保存則を再現できるか？

主な発見

• 系は、媒体の空間的非一様な脈動に起因する外部ポテンシャルを伴う有効シュレーディンガー方程式を導出する。
• ド・ブロイ＝ボームに類似した誘導式が、系の有効波動ダイナミクスから自然に出現する。
• 有効理論における粒子のエネルギーは、曲がった時空における相対論的エネルギーおよび量子力学的エネルギーの両者と直接的に一致する。
• 有効ポテンシャルは、局所的脈動に基づく重力的ポテンシャルとして振る舞い、同時に固有時間変化の自然な時計としても機能する。
• 自由落下および調和ポテンシャルのダイナミクスが有効に記述されており、量子的および相対論的期待と整合的であることが確認された。
• 一般共変性の使用により、ポアンカレ＝ローレンツ共変性の定式化に見られる矛盾が解消され、モデルの内部整合性が裏付けられた。