[論文レビュー] Equivariant ($K$-)homology of affine Grassmannian and Toda lattice

Roman Bezrukavnikov, Michael Finkelberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素再帰的群 G のアフィングラスマンニアンの等変 K-理論およびホモロジー環を計算し、ラングランズ双対群に関連する幾何的対象と同型であることを特定する。ホモロジー環のスペクトルは、普遍中心化子 ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{\mathfrak{g}}}$ に同型であり、その上に自然なシンプレクティック構造が誘導される。一方、K-理論環のスペクトルは、${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{G}}$ の変種に同型であり、その上に自然なポアソン構造が誘導される。これらの結果は、Toda ラティスを通じて幾何的表現論と可積分系の深い関係を確立する。

ABSTRACT

For an almost simple complex algebraic group $G$ with affine Grassmannian $Gr_G= G(C((t)))/G(C[[t]])$ we consider the equivariant homology $H^{G(C[[t]])}(Gr_G)$, and $K$-theory $K^{G(C[[t]])}(Gr_G)$. They both have a commutative ring structure, with respect to convolution. We identify the spectrum of homology ring with the universal group-algebra centralizer of the Langlands dual group $\check G$, and we relate the spectrum of $K$-homology ring to the universal group-group centralizer of $G$ and of $\check G$. If we add the loop-rotation equivariance, we obtain a noncommutative deformation of the ($K$)-homology ring, and thus a Poisson structure on its spectrum. We identify this structure with the standard one on the universal centralizer. The commutative subring of $G(C[[t]])$-equivariant homology of the point gives rise to a polarization which is related to Kostant's Toda lattice integrable system. We also compute the equivariant $K$-ring of the affine Grassmannian Steinberg variety. The equivariant $K$-homology of $Gr_G$ is equipped with a canonical base formed by the classes of simple equivariant perverse coherent sheaves. Their convolution is again perverse and is related to the Feigin-Loktev fusion product of $G(C[[t]])$-modules.

研究の動機と目的

• アフィングラスマンニアン $\operatorname{Gr}_G$ における $G(\mathbf{O})$ の作用の下での等変 K-理論およびホモロジー環を計算すること。
• これらの環のスペクトルが、ラングランズ双対群 $\check{G}$ に関連する幾何的対象、特に普遍中心化子 ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{\mathfrak{g}}}$ および ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{G}}$ に同型であることを特定すること。
• 得られた環が、ハミルトニアン還元および q-ハミルトニアン還元から生じる自然なシンプレクティックおよびポアソン構造を持つことを確立すること。
• 等変性 $G(\mathbf{O})\ltimes\mathbb{G}_m$ による非可換変形が、量子ハミルトニアン還元および Toda ラティス系に対応することを関係づけること。
• アフィングラスマンニアン $\operatorname{Gr}_G$ 上の $G(\mathbf{O})$-等変 perverse coherent sheaves のモノイダル圏が、グローテンディーク環が可換であるにもかかわらず非対称であることの証明。

提案手法

• 著者たちは、畳み込み図式 $G(\mathbf{F}) \times_{G(\mathbf{O})} \operatorname{Gr}_G \to \operatorname{Gr}_G$ を用いて、等変 coherent sheaf、およびその K-理論とホモロジーにモノイダル構造を定義する。
• スペクトル $\operatorname{Spec}(H^{G(\mathbf{O})}_\bullet(\operatorname{Gr}_G))$ が、$T^*\check{G}$ のハミルトニアン還元として得られるシンプレクティック多様体である普遍中心化子 ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{\mathfrak{g}}}$ に同型であることを特定する。
• スペクトル $\operatorname{Spec}(K^{G(\mathbf{O})}(\operatorname{Gr}_G))$ が、内部融合双対 $\mathbf{D}(\check{G})$ の q-ハミルトニアン還元として得られるポアソン多様体である ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{G}}$ の変種に同型であることを特定する。
• $\operatorname{Gr}_G$ 上にループ回転により $\mathbb{G}_m$-作用を構成し、$G(\mathbf{O})\ltimes\mathbb{G}_m$-等変層を研究することで、ホモロジーおよび K-理論環の非可換変形を定義する。
• $K^{{G(\mathbf{O})}\ltimes\mathbb{G}_m}(\operatorname{Gr}_G)$ 内の畳み込み積に関する再帰関係を導出し、たとえば $q^{-l}{\mathbf{v}}(l+n)_1 \star {\mathbf{v}}(l)_1 = \sum q^{\text{coeff}} {\mathbf{v}}(\cdot)_m$ のような式を得る。これにより、Toda ラティスと関連づける。
• $PGL_2$ の場合の幾何を用いて、非可換性を示す。具体的には、非同型な畳み込み $\mathcal{V}(0)_1 \star \mathcal{V}(-2)_1 \not\cong \mathcal{V}(-2)_1 \star \mathcal{V}(0)_1$ が、圏内での非分解的完全列によって示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィングラスマンニアン $\operatorname{Gr}_G$ における $G(\mathbf{O})$ の作用の下での等変 $K$-理論およびホモロジー環の構造は何か？
• RQ2 これらの環は、ラングランズ双対群 $\check{G}$ の幾何的不変量、たとえばその普遍中心化子とどのように関係しているか？
• RQ3 $G(\mathbf{O})\ltimes\mathbb{G}_m$-等変性によるこれらの環の非可換変形は、$\check{G}$ 上の微分作用素環の量子ハミルトニアン還元として実現可能か？
• RQ4 アフィングラスマンニアン $\operatorname{Gr}_G$ 上の $G(\mathbf{O})$-等変 perverse coherent sheaves のモノイダル圏は、グローテンディーク環が可換であるにもかかわらず非対称であるが、その理由は何か？
• RQ5 $\operatorname{Gr}_{PGL_2}$ 上の $G(\mathbf{O})\ltimes\mathbb{G}_m$-加群の畳み込み積は、$K^{{G(\mathbf{O})}\ltimes\mathbb{G}_m}(\operatorname{Gr}_G)$ 内の畳み込みとどのように関係しているか？

主な発見

• 等変ホモロジー環 $H^{G(\mathbf{O})}_\bullet(\operatorname{Gr}_G)$ のスペクトルは、普遍中心化子 ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{\mathfrak{g}}}$ に同型であり、これは余接 bundle $T^*\check{G}$ からの自然なシンプレクティック構造を引き継ぐ。
• 等変 K-理論環 $K^{G(\mathbf{O})}(\operatorname{Gr}_G)$ のスペクトルは、${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{G}}$ の変種に同型であり、これは内部融合双対 $\mathbf{D}(\check{G})$ の q-ハミルトニアン還元から生じる自然なポアソン構造を持つ。
• $K^{G(\mathbf{O})}(\operatorname{Gr}_G)$ 上のポアソン構造は、$\check{G}$ が単連結（すなわち $G$ がアドジョイント）である場合に限りシンプレクティックである。
• $H^{G(\mathbf{O})}_\bullet(\operatorname{Gr}_G)$ は、$\check{G}$ がアドジョイントの場合、Toda 位相空間の座標環に同型であり、これは古典的 Toda ラティスのコスタンタン位相空間の複素化である。
• $G(\mathbf{O})\ltimes\mathbb{G}_m$-等変層の畳み込み積は、たとえば $q^{-l}{\mathbf{v}}(l+n)_1 \star {\mathbf{v}}(l)_1 = q^{-2l}{\mathbf{v}}(2l+n)_2 + \sum_{k\geq 2} q^{2k} {\mathbf{v}}(n-2k)_0$ のような再帰関係を満たす。最後の項は $n$ の偶奇性に依存する。
• アフィングラスマンニアン $\operatorname{Gr}_G$ 上の $G(\mathbf{O})$-等変 perverse coherent sheaves のモノイダル圏は非対称である：$G=PGL_2$ の場合、$\mathcal{V}(0)_1 \star \mathcal{V}(-2)_1 \not\cong \mathcal{V}(-2)_1 \star \mathcal{V}(0)_1$ である。これは、圏内での非分解的完全列によって示される。