[論文レビュー] Ergodic complex structures on hyperkahler manifolds: an erratum

Verbitsky Misha|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、超ケーラー多様体に関する先行研究における見落としを是正し、周期空間における写像類群作用の下で以前に見過ごされていた軌道のクラスを同定する。この中間軌道は、実部 H^{2,0}-空間との1次元の有理的交わりを持つことによって特徴づけられ、その閉包が反複素構造の対合の固定点集合であり、完全に実的であり、正次元の複素数部分多様体を含まないことを証明する。この結果は、双曲性およびKobayashi擬距離に関する結果に影響を与える。

ABSTRACT

Let $M$ be a hyperkahler manifold, $Γ$ its mapping class group, and $Teich$ the Teichmuller space of complex structures of hyperkahler type. After we glue together birationally equivalent points, we obtain the so-called birational Teichmuller space $Teich_b$. Every connected component of $Teich_b$ is identified with its period space $P$ by global Torelli theorem. The mapping class group of $M$ acts on $P$ as a finite index subgroup of the group of isometries of the integer cohomology lattice, that is, satisfies assumptions of Ratner theorem. We prove that there are three classes of orbits, closed, dense and the intermediate class which corresponds to varieties with $Re(H^{2,0}(M))$ containing a given rational vector. The closure of the later orbits is a fixed point set of an anticomplex involution of $P$. This fixes an error in the paper 1306.1498, where this third class of orbits was overlooked. We explain how this affects the works based on 1306.1498.

研究の動機と目的

• 超ケーラー多様体のテイコフリ空間における写像類群作用の軌道構造に関する分類誤りを是正すること。
• 複素構造において dim(Re(H^{2,0}) ∩ H^2(M,ℚ)) = 1 を満たす、以前に見過ごされていた軌道クラスを同定し、特徴づけること。
• これらの中間軌道の閉包が、周期空間上での反複素構造の対合の固定点集合であることを証明し、それが完全に実的で、正次元の複素数部分多様体を含まないことを示すこと。
• 元の論文から得られた幾何的応用が、[KLV]における1つの暗黙の主張を除き、すべて有効であることを確認すること。
• Ratner理論が SO(1,b₂−3)×SO(2) に直接適用できないこと、および SO(1,b₂−3) を部分群として考える必要があることの意義を明確にすること。

提案手法

• グローバルTorelli定理を用いて、双有理的テイコフリ空間 Teich_b を対称空間 ℙer = SO(3,b₂−3)/(SO(2)×SO(1,b₂−3)) と同定する。
• 写像類群 Γ が整数コホモロジー格子の等長群の有限指数部分群として ℙer 上に作用することを分析する。
• H′ = SO(1,b₂−3) ⊂ SO(3,b₂−3) に属する部分群にRatner理論を適用し、未圧縮流れを生成する。
• 中間軌道の閉包を、H′ ⊂ S ⊂ SO(3,b₂−3) を満たす中間部分群 S として特定する。特に S = SO(2,b₂−3) が、欠落していた軌道クラスに対応する。
• 中間軌道の閉包が、ℙer 上の反複素構造の対合の固定点集合であることを証明し、それが完全に実的であり、正次元の複素数部分多様体を含まないことを示す。
• Meyerの定理を用いて、ランク ≥5 の格子に平方ゼロの有理的クラスが存在することを示し、SYZ予想のもとでラグランジュ的ファイブレーションの構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超ケーラー多様体の周期空間における写像類群作用の軌道の完全な分類は何か？
• RQ2 なぜ、Re(H^{2,0}) との1次元有理的交わりを持つ中間軌道クラスが、元の研究で見過ごされたのか？
• RQ3 中間軌道の閉包の幾何的性質は何か？ そして、閉じた軌道や再帰的軌道とはどのように異なるか？
• RQ4 この軌道クラスの存在が、Kobayashi擬距離や双曲性に関する幾何的結果の有効性に与える影響は何か？
• RQ5 Ratner理論を SO(1,b₂−3)×SO(2) に直接適用できるか？ もしできないなら、分類を可能にする代替部分群は何か？

主な発見

• 写像類群作用の周期空間において、以前に見過ごされていた軌道クラスが存在し、これは複素構造において dim(Re(H^{2,0}) ∩ H^2(M,ℚ)) = 1 を満たすものに対応する。
• これらの中間軌道の閉包は、完全に実的な部分多様体であり、特に ℙer 上の反複素構造の対合の固定点集合である。
• これらの閉包は正次元の複素数部分多様体を含まず、任意の真の複素数部分多様体に含まれない。
• 元の論文 [V2] および [KLV] からの幾何的結果は、[KLV]における1つの暗黙の主張を除き、すべて有効である。この主張は欠落していた軌道のおかげで是正が必要だった。
• 中間軌道は、Ratner理論により H′-軌道（H′ = SO(1,b₂−3)）の閉包として現れ、中間群 SO(2,b₂−3) がその分類において中心的な役割を果たす。
• 反複素構造の対合の固定点集合は、任意の与えられた genus の極小化 K3 表面の空間 Teich_g と交わるため、各中間軌道に稠密な代数的複素構造の集合が存在する。