[論文レビュー] Ergodicity and equidistribution in Hilbert geometry

Pierre-Louis Blayac, Feng Zhu|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2021

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 57被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、パトソン–サイラス密度から導かれる有限なサリバン測度を備えたランク1の適切に凸な射影的多様体または軌道体上のヒルベルト測地線流に対して、エルゴード性および一様分布の結果を確立する。ロブリンのCAT(−1)空間における枠組みを拡張し、著者らは測地線流の強い混合性および軌道および原始的閉測地線の一様分布を証明し、C¹境界をもつ幾何的に有限で強く凸なヒルベルト幾何におけるこのような対象の漸近的数え上げを可能にする。

ABSTRACT

We show that dynamical and counting results characteristic of negatively-curved Riemannian geometry, or more generally CAT($-1$) or rank-one CAT($0$) spaces, also hold for rank-one properly convex projective structures, equipped with their Hilbert metrics, admitting finite Sullivan measures built from appropriate conformal densities. In particular, this includes geometrically finite convex projective structures. More specifically, with respect to the Sullivan measure, the Hilbert geodesic flow is strongly mixing, and orbits and primitive closed geodesics equidistribute, allowing us to asymptotically enumerate these objects.

研究の動機と目的

• CAT(−1)空間におけるロブリンのエルゴード性および一様分布の結果をランク1の適切に凸なヒルベルト幾何に拡張すること。
• パトソン–サイラス密度から構成されたサリバン測度に関して、ヒルベルト測地線流の強い混合性を確立すること。
• C¹境界をもつ幾何的に有限で強く凸なヒルベルト多様体における軌道および原始的閉測地線の漸近的数え上げ推定式を導出すること。
• コンパクトまたは強く凸な設定を超えた、従来の凸射影幾何における一様分布および数え上げの結果を一般化すること。

提案手法

• 境界における無限遠点上でのパトソン–サイラス密度を用いて、商多様体の単位接束上にサリバン測度を構成する。
• 2つの双曲的要素がC¹で強く極端な固定点をもつことにより定義されるランク1の条件を用い、負の曲率に類似した力学的複雑性を保証する。
• ロブリンのCAT(−1)空間における研究の技術を、水平包のfoliationおよび流不変測度を用いてヒルベルト幾何に適応する。
• サリバン測度に関して測地線流の強い混合性を証明することで、軌道および原始的閉測地線の一様分布を確立する。
• 軌道追跡およびコーン近傍に関する幾何的推定を用いて、与えられた移動長内の群元の数を評価し、指数的成長率を活用する。
• コンパクト台付き連続関数への統合と測度正規化を適用することで、漸近的数え上げ公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク1の適切に凸な射影的多様体上のヒルベルト測地線流は、サリバン測度に関して強い混合性を示すか？
• RQ2 C¹境界をもつ非コンパクトで幾何的に有限な凸射影的多様体において、軌道および原始的閉測地線の一様分布は確立可能か？
• RQ3 パトソン–サイラス密度および関連するサリバン測度は、CAT(−1)でないヒルベルト幾何において、一様分布および数え上げの有効な枠組みを提供できるか？
• RQ4 幾何的に有限で強く凸なヒルベルト多様体において、C¹境界をもつ原始的閉測地線の数の漸近的成長率はいかほどか？

主な発見

• パトソン–サイラス密度から構成されたサリバン測度に関して、ヒルベルト測地線流は強い混合性を示す。
• サリバン測度に関して、ヒルベルト多様体の単位接束上での軌道は測地線流によって一様分布する。
• 原始的閉測地線は単位接束上で一様分布し、移動長がT以下のそれらの数はT → ∞のとき、e^{δT}/(δT) に漸近的に比例する。
• 幾何的に有限で非可約かつ強く凸なC¹境界をもつヒルベルト多様体において、移動長 ≤ T である原始的閉測地線の数 #[Γ]_T^{pr1} に対して、漸近的数え上げ公式 e^{-δT}/(δT) が成り立つ。
• 非自明な安定化部分群（コア固定部分群）に関連する周期的軌道の集合は、全体の数え上げにほとんど寄与しない。その数は主項に対して指数的に減少する。
• 証明は、コーン近傍による軌道追跡の幾何的制御および測度推定に依拠し、与えられた移動長内の群元の数に対する一様な上界を導く。