[論文レビュー] $\eta$-periodic motivic stable homotopy theory over Dedekind domains

Tom Bachmann|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2 が可逆である混合特徴類の Dedekind スキーム上で $η$-周期的モチビック安定ホモトピー理論を確立し、$ω$-K理論 や Witt コホモロジーといった主要なモチビックスペクトラをそのような底空間に拡張する。フレームド転送と $η$-局所化を用いることで、基底変換不変性を証明し、[BH20] の基本的ファイバー系列を任意の Dedekind スキームへと拡張し、$η$-周期的代数的コボルディズム群の計算を可能にする。

ABSTRACT

We construct well-behaved extensions of the motivic spectra representing generalized motivic cohomology and connective Balmer--Witt K-theory (among others) to mixed characteristic Dedekind schemes on which 2 is invertible. As a consequence we lift the fundamental fiber sequence of $\\eta$-periodic motivic stable homotopy theory established in [arxiv:2005.06778] from fields to arbitrary base schemes, and use this to determine (among other things) the $\\eta$-periodized algebraic symplectic and SL-cobordism groups of mixed characteristic Dedekind schemes containing 1/2.

研究の動機と目的

• 体から混合特徴類の Dedekind スキームへ $η$-周期的モチビックスペクトラ（$ω$-K理論、Witt コホモロジー、および高次 Chow–Witt 群など）を拡張すること。
• 2 が可逆である Dedekind 環上でこれらのスペクトラの基底変換不変性を確立し、算術的幾何学における整数論的議論を可能にする。
• [BH20] における基本的 $η$-周期的ファイバー系列を任意の底スキームへと上昇させることで、代数的コボルディズムおよび $SL$-コボルディズムに関する結果を拡張すること。
• 層論的およびフレームド転送技術を用いて、$ω$-K理論のようなスペクトラの明示的かつ計算に有用な記述を提供すること。

提案手法

• モチビックスペクトラとフレームドスペクトラの同値性（$\mathcal{SH}^{S^1\mathrm{fr}}(D) \simeq \mathcal{SH}^{\mathrm{fr}}(D)$）を用いて $η$-局所化を簡略化し、$\mathbb{P}^1$-安定化を回避する。
• フレームド転送と $\mathcal{SH}^{S^1\mathrm{fr}}(D)$ 内のホップ写像 $\eta$ を用いて $η$-周期的 $S^1$-スペクトラを定義し、既知のスペクトラと関連付ける。
• 離散付値環上の Witt 環の Gersten 猜測（[Gei04] による）を適用し、Witt 層 $\underline{W}$ の厳密な $\mathbb{A}^1$-不変性を証明する。
• [BH21, Prop. B.3] に従い、剰余体への引き戻しによる基底変換検出法を用いて、$\mathcal{SH}(D)$ 内の同値性および連結性を検証する。
• 安定性 $\mathrm{H}\mathbb{Z}$（Spitzweck）および Jacobson の Witt 環に関する結果を活用し、スペクトラの構成と比較を行う。
• 実現法および 2 での局所化と $\mathbb{Z}[1/2]$ での局所化を用いて、問題を $\mathbb{R}$ や $\mathbb{Q}$ 上の既知のケースに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 文献 [BH20] における $η$-周期的モチビック安定ホモトピー理論のファイバー系列は、体から $1/2$ を含む任意の Dedekind スキームへ拡張可能か？
• RQ2 Dedekind 環上で 2 が可逆であるとき、スペクトラ $\mathrm{kw}$, $\mathrm{HW}$, $\mathrm{H}_{W}\mathbb{Z}$, $\underline{K}^W$ は基底変換に関して安定か？
• RQ3 混合特徴類の Dedekind スキーム上で $η$-周期化された代数的 $\mathrm{SL}$-コボルディズムおよびシミレクティック・コボルディズム群の構造はいかなるものか？
• RQ4 $η$-周期的スペクトラは、そのような底空間上でフレームド転送および層論的データを用いて明示的に記述可能か？

主な発見

• 任意の $1/2$ を含む Dedekind スキーム $D$ に対して、$\mathcal{SH}(D)$ 内で基本的 $η$-周期的ファイバー系列 $\mathbbm{1}[\eta^{-1}]_{(2)} \to \mathrm{kw}_{(2)} \to \Sigma^4 \mathrm{kw}_{(2)}$ が成り立つ。これは [BH20] の結果を一般の底空間へ拡張する。
• $\underline{K}^W$ のホモトピー層は $\underline{\pi}_0(\underline{K}^W)_* = \underline{I}^*$ および $i \neq 0$ のとき $\underline{\pi}_i(\underline{K}^W)_* = 0$ を満たし、$\underline{W}$ の厳密な $\mathbb{A}^1$-不変性が確認される。
• すべてのスペクトラ（$\mathrm{kw}$, $\mathrm{HW}$, $\mathrm{H}_{W}\mathbb{Z}$, $\underline{K}^W$, $\mathrm{H}\tilde{\mathbb{Z}}$ を含む）は、任意の $1/2$ を含む Dedekind スキーム $S$ に対して $\mathcal{SH}(S)$ 内で細胞的である。これは基底変換と $\mathrm{MSp}$ の細胞的性質を用いて示される。
• $\mathrm{kw}^{*}_{(2)}\mathrm{kw}$-代数は非可換構造をもち、$\varphi\beta = 9\beta\varphi + 8$ を満たす。これは $\mathbb{Q}$ 上の既知の事例を一般化する。
• スミッシュ積 $\mathrm{HW} \wedge \mathrm{HW}_{(2)}$ は $\bigvee_{n \geq 0} \Sigma^{4n} \mathrm{HW}/8n$ に同定され、生成子は $x_m x_n = \binom{m+n}{n} x_{m+n}$ を満たす。
• $η$-周期化された $\mathrm{MSL}$-スペクトラは $\mathrm{MSp}/(y_1,y_3,\dots) \simeq \mathrm{MSL}$ および $\mathrm{MSL}/(y_4,y_6,\dots) \simeq \mathrm{kw}$ を満たし、後者は体への引き戻し後で同値となる。