[論文レビュー] Etale groupoids arising from products of shifts of finite type

Hiroki Matui|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限型の片側シフト（SFT）から生じるエタール群コアドのホモロジー、K理論、トポロジカルフル群の関係を規定し、検証する2つの予想を提示する。本研究は、このような積群コアドの同型条件を確立し、そのアーベル化されたトポロジカルフル群を計算する。これは高次元のトマソン群の一般化であり、ホモロジーにおける2-torsionに関する特定の条件下で強いAH性質を確認する。

ABSTRACT

Two conjectures about homology groups, K-groups and topological full groups of minimal etale groupoids on Cantor sets are formulated. We verify these conjectures for many examples of etale groupoids including products of etale groupoids arising from one-sided shifts of finite type. Furthermore, we completely determine when these product groupoids are mutually isomorphic. Also, the abelianization of their topological full groups are computed. They are viewed as generalizations of the higher dimensional Thompson groups.

研究の動機と目的

• コンパクト集合上の最小で本質的に主なエタール群コアドにおけるホモロジー、K理論、トポロジカルフル群の関係に関する2つの予想を提示し検証すること。
• 片側SFTからのエタール群コアドの積がいつ同型となるかを分類し、既存の群コアド同型に関する結果を拡張すること。
• このような積群コアドのトポロジカルフル群のアーベル化を計算し、それが高次元トマソン群の一般化として特定されることを明らかにすること。
• ホモロジーにおける2-torsionの項の数と性質に基づいて、これらの積群コアドが強いAH性質を満たす条件を同定すること。

提案手法

• Conjecture 2.6を提示：偶数次元ホモロジー群の直和が、縮小群コアドC*-代数のK理論に同型であると仮定する。
• Conjecture 2.9を提唱：$ H_0(\nG) \otimes \mathbb{Z}_2 $、トポロジカルフル群のアーベル化、および $ H_1(\nG) $ を含む特定の完全列が完全であると仮定する。
• 記号的力学および群コアド理論の技法を用いて、SFT群コアド $ \mathcal{G} = \mathcal{G}_{A_1} \times \cdots \times \mathcal{G}_{A_n} $ の積を分析する。
• 特に $ H_*(\mathcal{G}) $ のホモロジー群の構造、特に $ \mathbb{Z}_{m(d,i_d)} $ の和分解を用いて、アーベル化 $ [[\mathcal{G}]]_{\mathrm{ab}} $ を分析する。
• リフト構成と交換関係を用いて、Conjecture 2.9における完全列の正確性を検証し、特に写像 $ j $ と要素 $ \beta $ を用いる。
• $ m(d,i_d) $ における数論的条件（偶奇性および整除性）を適用し、$ g[\operatorname{id}_Y \odot \beta] = 0 $ となる条件を特定する。これにより、完全列の分裂が制御される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数次元ホモロジー群の直和が、縮小群コアドC*-代数のK理論に同型となる条件は何か？
• RQ2 完全列 $ H_0(\mathcal{G}) \otimes \mathbb{Z}_2 \to [[\mathcal{G}]]_{\mathrm{ab}} \to H_1(\mathcal{G}) \to 0 $ がいつ完全になるか？
• RQ3 2つのSFT群コアドの積がエタール群コアドとしていつ同型か？
• RQ4 SFT群コアドの積のトポロジカルフル群のアーベル化は何か？
• RQ5 SFTの積群コアドが強いAH性質を満たす条件は何か？

主な発見

• Conjecture 2.6は、すべての最小な $ \mathbb{Z} $-作用、片側SFT、およびそれらの積に対して成り立つ。$ \bigoplus_n H_{2n+i}(\mathcal{G}) \cong K_i(C^*_r(\mathcal{G})) $ が確認された。
• Conjecture 2.9は、ほとんど有限群コアドおよび性質TRを有する純粋無限群コアド（すべてのSFT群コアドの積を含む）に対して成り立つ。
• 2つの積群コアド $ \mathcal{G}_{A_1} \times \cdots \times \mathcal{G}_{A_n} $ と $ \mathcal{G}_{B_1} \times \cdots \times \mathcal{G}_{B_n} $ が同型であるための必要十分条件は、対応する行列 $ A_d $ と $ B_d $ が特定の組合せ的同値条件を満たすことである。
• 積群コアドのトポロジカルフル群のアーベル化 $ [[\mathcal{G}]]_{\mathrm{ab}} $ は、明示的に計算され、$ \mathbb{Z}_{g_2} $ の直和として与えられる。ここで $ g_2 $ は $ m(d,i_d) $ の値のGCDに依存する。
• n=1 または n=2 の場合、積群コアドは強いAH性質を有する。n ≥ 3 の場合、$ H_0(\mathcal{G}_{A_d}) $ が $ \mathbb{Z}_2 $ を和分解として含むインデックス d が3つ未満である場合に限り、強いAH性質を有する。
• 高次元トマソン群 $ nV_{k,r} $ のアーベル化は、パラメータの偶奇性および整除性に基づいて明示的に計算され、直和としての巡回群の形で与えられる。