[論文レビュー] Examples of asymptotically conical Ricci-flat K\

Craig van Coevering|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、3次元のGorensteinトーリックケーラー錐が、すべてのケーラー類において完全なリッチ平坦ケーラー計量を有するクリープアンティック解体を備えることを証明することで、漸近的に錐に近いリッチ平坦ケーラー多様体の無限個の新しい例を構成する。さらに、異なる位相的不変量を持つ2つの族の超曲面特異点を提供し、それらから得られる多様体のb₃(Y) = 0 または b₃(Y) > 0 となる例を生み出す。

ABSTRACT

The author has proved that a crepant resolution Y of a Ricci-flat K\{a}hler cone X admits a complete Ricci-flat K\{a}hler metric asymptotic to the cone metric in every K\{a}hler class in H^2_c(Y,\R). These manifolds are generalizations of the Ricci-flat ALE K\{a}hler spaces known by the work of P. Kronheimer, D. Joyce and others. This article considers further the problem of constructing examples. We show that every 3-dimensional Gorenstein toric K\{a}hler cone admits a crepant resolution for which the above theorem applies. This gives infinitely many examples of asymptotically conical Ricci-flat manifolds. Then other examples are given of which are crepant resolutions hypersurface singularities which are known to admit Ricci-flat K\{a}hler cone metrics by the work of C. Boyer, K. Galicki, J. Koll\'{a}r, and others. Two families of hypersurface examples are given which are distinguished by the condition b_3(Y)=0 or b_3(Y)>0.

研究の動機と目的

• 既知のALE空間を超えて、漸近的に錐に近い多様体へとリッチ平坦ケーラー計量の構成を拡張すること。
• クリープアンティック解体が完全なリッチ平坦ケーラー計量を有する広範な特異点のクラスを同定すること。
• 特にb₃(Y)によって区別される、制御された位相的性質を持つ無限族のこのような多様体を明示的に構成すること。
• 従来のリッチ平坦計量に関するクリープアンティック解体の結果を、漸近的に錐に近い設定へと一般化すること。

提案手法

• 3次元のGorensteinトーリックケーラー錐が、すべてのケーラー類において完全なリッチ平坦ケーラー計量を有するクリープアンティック解体を備えることを証明すること。
• リッチ平坦ケーラー錐のクリープアンティック解体におけるリッチ平坦ケーラー計量の一般存在定理を適用すること。
• トーリック幾何学およびGorensteinトーリック特異点の分類を用いて、明示的な例を構成すること。
• 特に第3ベッチ数b₃(Y)に注目して解体の位相を分析し、2つの族を区別すること。
• Boyer, Galicki, Kollárらが確立したように、超曲面特異点がリッチ平坦ケーラー錐計量を有するという既知の結果を用いること。
• b₃(Y)の値によって例を区別し、b₃(Y) = 0 および b₃(Y) > 0 の2つの異なる族を生み出すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの種の特異点が、錐計量に漸近する完全なリッチ平坦ケーラー計量を有するクリープアンティック解体を備えるか？
• RQ2 すべての3次元Gorensteinトーリックケーラー錐に対して、このような計量の存在が保証されるか？
• RQ3 b₃(Y)のような位相的不変量は、これらの漸近的に錐に近いリッチ平坦多様体の異なる族をどのように区別するか？
• RQ4 解体の位相的性質は、元の錐の幾何学とどのように関係するか？
• RQ5 制御されたベッチ数を持つ、このような多様体の無限族に対して明示的な構成が可能か？

主な発見

• すべての3次元Gorensteinトーリックケーラー錐が、すべてのケーラー類において完全なリッチ平坦ケーラー計量を有するクリープアンティック解体を備える。
• この方法により、漸近的に錐に近いリッチ平坦ケーラー多様体の無限個の新しい例が構成される。
• 2つの異なる族の超曲面特異点が、それぞれb₃(Y) = 0 および b₃(Y) > 0 を有するクリープアンティック解体を生み出す。
• この構成は、ALE空間に関する既知の結果を漸近的に錐に近い設定へと一般化する。
• 解体の位相、特にb₃(Y)は、得られるリッチ平坦多様体を分類するための重要な不変量である。
• リッチ平坦ケーラー錐計量を有する特異点のクリープアンティック解体にリッチ平坦計量が存在することを確認する。