[論文レビュー] Asymptotically conical Calabi-Yau metrics on quasi-projective varieties

Ronan J. Conlon, Hans‐Joachim Hein|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 50被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$X$ がコンpaktoなケーラー・オービフォールドで、$D$ が $-pK_X = q[D]$ かつ $q > p$ を満たすファノ部分オービフォールド除法子である quasi-projective 多様体 $X \setminus D$ 上に、漸近的に錐型となるカラビ・ヤウ計量の存在と一意性を確立する。$D$ がケーラー・アインシュタインである場合、$X \setminus D$ 上の各ケーラー類は、無限遠で錐計量に $O(r^{-1-\varepsilon})$ のレートで漸近する一意なリッチ平坦ケーラー計量を有する。さらに、不規則なササキ・アインシュタイン構造を用いて、ケーラー・アインシュタインでない場合にも $O(r^{-0.0128})$ のレートで同様の結果を拡張し、不規則な接錐とユークリッド体積成長を示す初のアフィン・カラビ・ヤウ多様体の例を構成する。

ABSTRACT

Let X be a compact Kahler orbifold without \C-codimension-1 singularities. Let D be a suborbifold divisor in X such that D \supset Sing(X) and -pK_X = q[D] for some p, q \in \N with q > p. Assume that D is Fano. We prove the following two main results. (1) If D is Kahler-Einstein, then, applying results from our previous paper, we show that each Kahler class on X\D contains a unique asymptotically conical Ricci-flat Kahler metric, converging to its tangent cone at infinity at a rate of O(r^{-1-ε}) if X is smooth. This provides a definitive version of a theorem of Tian and Yau. (2) We introduce new methods to prove an analogous statement (with rate O(r^{-0.0128})) when X = Bl_{p}P^3 and D = Bl_{p_1,p_2}P^2 is the strict transform of a smooth quadric through p in P^3. Here D is no longer Kahler-Einstein, but the normal S^1-bundle to D in X admits an irregular Sasaki-Einstein structure which is compatible with its canonical CR structure. This provides the first example of an affine Calabi-Yau manifold of Euclidean volume growth with irregular tangent cone at infinity.

研究の動機と目的

• quasi-projective 多様体 $X \setminus D$ 上の完全なリッチ平坦ケーラー計量の存在に関する Tian-Yau 定理を一般化・最適化すること。
• 無限遠における接錐への曲率および計量の収束に関する鋭い漸近的減衰レートを確立すること。
• 正規バンドル上に不規則なササキ・アインシュタイン構造を有する場合に、$D$ がケーラー・アインシュタインでない場合の新しいカラビ・ヤウ計量のクラスを構成すること。
• 不規則な接錐を有する無限遠におけるユークリッド体積成長を示す初のアフィン・カラビ・ヤウ多様体の例を提供すること。
• オービフォールドおよび代数幾何学的手法を用いて、以前の漸近的に錐型となるカラビ・ヤウ計量に関する結果を統合・拡張すること。

提案手法

• 付随同型 $N_D^{q-p} \cong K_D^{-p}$ を通じて、ラインバンドル $K_D^{-p}$ の全空間上にモデルのリッチ平坦ケーラー錐計量をカルビ・アンツァツを用いて構成する。
• 指数写像 $\exp: N_D \to X$ を用いて、錐計量を $X$ 内の $D$ の近傍に引き戻し、漸近的解析を可能にする。
• 連続的変形法と重み付きソボレフ推定値を用いて、$X \setminus D$ 上の各ケーラー類におけるリッチ平坦ケーラー計量の存在と一意性を証明する。
• 特に、$D$ の単位正規バンドル上に不規則なササキ・アインシュタイン構造が存在することを活用して、ケーラー・アインシュタインでない場合の新しい幾何的技法を導入する。
• 明示的な座標チャートとメロモルフィック体積形式の使用により、$X \setminus \{p_9\}$ 上でのグローバルな正則構造および正則バンドルの自明性を検証する。
• 重み付き $L^2$-推定値および曲率とモデル錐計量との差の減衰推定値を用いて、計量の漸近的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Tian-Yau 定理における漸近的に錐型となるカラビ・ヤウ計量について、曲率および計量の収束に関する鋭い減衰レートを含めた強化は可能か？
• RQ2 $D$ がケーラー・アインシュタインでないが、不規則なササキ・アインシュタイン構造を有する場合、$X \setminus D$ 上のカラビ・ヤウ計量の漸近的幾何はどのように変化するか？
• RQ3 不規則な接錐を有する無限遠およびユークリッド体積成長を示すカラビ・ヤウ計量を、quasi-projective 多様体上に構成することは可能か？
• RQ4 もし $D$ にケーラー・アインシュタイン計量が存在するならば、$X \setminus D$ 上のリッチ平坦計量の漸近的挙動にどのような影響を与えるか？
• RQ5 $X$ のオービフォールド構造および部分オービフォールド除法子 $D$ は、このような計量の存在および一意性にどのような役割を果たすか？

主な発見

• $D$ がケーラー・アインシュタインで、$X$ が滑らかである場合、$X \setminus D$ 上の各ケーラー類は、無限遠で接錐に $O(r^{-1-\varepsilon})$ のレートで収束する一意なリッチ平坦ケーラー計量 $\omega_c$ を有する。
• 計量 $\omega_c$ は、任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$\lambda = \min\{2 - \varepsilon, \frac{n}{\alpha - 1}\}$ として、推定 $|\nabla^{k}_{g_0}(\exp^*(g_c) - c g_0)|_{g_0} \leq C(k) r^{-\lambda - k}$ を満たす。ここで $\alpha = q/p > 1$ である。
• もし $X = \mathrm{Bl}_p \mathbb{P}^3$ かつ $D = \mathrm{Bl}_{p_1,p_2} \mathbb{P}^2$ が $p$ を通る滑らかな二次曲面の厳密な像であるならば、$D$ がケーラー・アインシュタインではないにもかかわらず、計量は $O(r^{-0.0128})$ の減衰レートで存在する。
• $D$ における正規 $\mathbb{S}^1$-バンドルは、その標準的 CR 構造と整合する不規則なササキ・アインシュタイン構造を有し、ケーラー・アインシュタインでない場合の構成を可能にする。
• この構成により、ユークリッド体積成長と不規則な接錐を有する初の既知のアフィン・カラビ・ヤウ多様体の例が得られる。
• 計量 $\omega_c$ は、ケーラー類およびモデル錐計量を保つ $(X,D)$ の自己同型に対して不変であり、任意の $t > 0$ に対して $\omega_{tc,t\mathfrak{k}} = t \omega_{c,\mathfrak{k}}$ としてスケーリングする。