[論文レビュー] Existence, Non-existence, Uniqueness of solutions for semilinear elliptic equations involving measures concentrated on boundary

Huyuan Chen, Hichem Hajaiej|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、境界に集中した測度を伴う分数階楕円型方程式に対して、弱解の存在、非存在、一意性を確立する。新規の分布的定義に基づく分数階法線微分を用いる。非減少関数 $ g $ が臨界的可積分性条件を満たす場合の一意性、指数 $ \frac{N+\alpha}{N-\alpha} $ の最適性、および $ \epsilon = -1 $ の場合にシュードァーの不動点定理を用いて正の解の存在を示す。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the weak solutions of the fractional elliptic problem \begin{equation}\label{000} \begin{array}{lll} (-Δ)^αu+εg(u)=k\frac{\partial^αν}{\partial \vec{n}^α}\quad &{ m in}\quad\ \ \barΩ,\\[3mm] \phantom{(-Δ)^α+εg(u)} u=0\quad &{ m in}\quad\ \ \barΩ^c, \end{array} \end{equation} where $k>0$, $ε=1$ or $-1$, $(-Δ)^α$ with $α\in(0,1)$ is the fractional Laplacian defined in the principle value sense, $Ω$ is a bounded $C^2$ open set in $R^N$ with $N\ge 2$, $ν$ is a bounded Radon measure supported in $\partialΩ$ and $\frac{\partial^αν}{\partial \vec{n}^α}$ is defined in the distribution sense, i.e. $$ \langle\frac{\partial^αν}{\partial \vec{n}^α},ζ angle=\int_{\partialΩ}\frac{\partial^αζ(x)}{\partial \vec{n}_x^α}dν(x), \qquad \forallζ\in C^α(R^N), $$ here $\vec{n}_x$ denotes the unit inward normal vector at $x\in\partialΩ$.

研究の動機と目的

• 分数階ラプラシアン方程式に境界測度を伴う古典的境界値問題の不適切性を解消すること。
• テスト関数を $ C^\alpha(\mathbb{R}^N) $ にとることで、分数階法線微分 $ \frac{\partial^\alpha \nu}{\partial \vec{n}^\alpha} $ の新しい分布的枠組みを定義すること。
• $ \epsilon = 1 $ の場合に、$ g $ が臨界的可積分性条件を満たすとき、弱解の存在と一意性を確立すること。
• 境界にデルタ関数を伴う解の近傍における漸近的挙動と、測度強度 $ k \to \infty $ の極限を分析すること。
• $ \epsilon = -1 $ の場合に、$ g $ が双対的可積分性条件を満たすとき、シュードァーの不動点定理を用いて正の弱解の存在を示すこと。

提案手法

• テスト関数 $ \zeta \in C^\alpha(\mathbb{R}^N) $ に対して、$ \left\langle \frac{\partial^\alpha \nu}{\partial \vec{n}^\alpha}, \zeta \right\rangle = \int_{\partial\Omega} \frac{\partial^\alpha \zeta(x)}{\partial \vec{n}_x^\alpha} d\nu(x) $ を用いて、分数階法線微分 $ \frac{\partial^\alpha \nu}{\partial \vec{n}^\alpha} $ を分布として定義する。
• すべての $ \xi \in \mathbb{X}_\alpha $ に対して成り立つ恒等式 $ \int_\Omega [u(-\Delta)^\alpha \xi + g(u)\xi] dx = k \int_\Omega \frac{\partial^\alpha \xi}{\partial \vec{n}^\alpha} d\nu $ を用いて、弱解の概念を確立する。
• 切断と近似の手続きを用いる：$ g_n(s) = \min(g(s), n) $ を定義し、測度 $ \nu $ を滑らかな関数 $ \nu_n $ で近似する。
• グリーン核とシュードァーの不動点定理を用いて、正則化された問題に対する古典的解 $ u_n $ の列を構成する。
• 関数 $ \omega(\lambda) = \int_{|u_n| > \lambda} \rho^\alpha_{\partial\Omega} dx $ を含む微妙な推定により、$ g(u_n) $ の $ L^1(\Omega, \rho^{\beta}_{\partial\Omega} dx) $ 内での一様可積分性を示す。
• ヴィタリーの収束定理を適用し、極限を取ることで、元の方程式を分布的意味で満たす弱解 $ u $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \epsilon = 1 $ の場合に、分数階楕円型問題に境界測度を伴う弱解が一意に存在するための $ g $ に関する条件は何か？
• RQ2 非線形関数 $ g $ のための臨界指数は何か？ その指数より大きいと弱解は存在しない。この指数は最適か？
• RQ3 境界にデルタ関数 $ \delta_{x_0} $ がある場合、解はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ4 測度強度 $ k \to +\infty $ のとき、弱解はどのように振る舞うか？
• RQ5 $ \epsilon = -1 $ の場合に正の弱解が得られるか？ その条件は何か？

主な発見

• $ \epsilon = 1 $ の場合、$ g $ が連続かつ非減少であり、かつ $ \int_1^\infty (g(s) - g(-s)) s^{-1 - \frac{N+\alpha}{N-\alpha}} ds < \infty $ を満たすならば、一意な弱解が存在する。
• 臨界指数 $ \frac{N+\alpha}{N-\alpha} $ は最適である：$ g(s) = s^{\frac{N+\alpha}{N-\alpha}} $ の場合、弱解は存在しない。
• デルタ関数 $ \delta_{x_0} $ の近傍では、解はグリーン核と分数階法線微分によって支配される明確な漸近的挙動を示す。
• $ k \to +\infty $ のとき、弱解はデルタ関数を伴う問題の解に収束し、その極限はグリーン核によって特徴付けられる。
• $ \epsilon = -1 $ の場合、$ g $ が連続であり、かつ $ \int_1^\infty g(s) s^{-1 - \frac{N+\alpha}{N-\alpha}} ds < \infty $ を満たすならば、正の弱解が存在する。これはシュードァーの不動点定理を用いて証明される。
• 近似解の列 $ \{u_n\} $ は a.e. および $ L^1(\Omega) $ で収束し、$ g(u_n) \to g(u) $ が $ L^1(\Omega, \rho^\beta_{\partial\Omega} dx) $ で成り立つ。これにより、極限が弱解であることが保証される。