[論文レビュー] Existence of constant scalar curvature Kaehler cone metrics, properness and geodesic stability

Kai Zheng|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 88被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、定数スカラー曲率ケーラー（cscK）円錐計量の存在、対数Kエネルギー汎関数の適切性、および測地的安定性の間の同値性を確立する。著者らは近似法と重み付き Hölder 評価を用いて、Chen-Cheng の滑らかな cscK 計量に関する結果を円錐設定に拡張し、適切性のもとで存在を証明するとともに、大きなコhomology類における cscK 円錐計量の開性および近似性質を確立し、退化を伴う特異 cscK 計量を含む。

ABSTRACT

We show that the existence of constant scalar curvature Kähler (cscK) metrics with cone singularities is equivalent to the properness of log $K$-energy. We also prove their equivalence to the geodesic stability. They are extensions of the solution of the properness conjecture and Donaldson's geodesic stability conjecture of the cscK problem for smooth Kähler metrics by Chen-Cheng to the setting of cscK cone metrics. One applications of our main results is that we introduce and construct singular cscK metrics with possible degeneration in big cohomology class. As another application, we also prove both openness and approximation property for the path of cscK cone metrics, which are paralleling to Donaldson's continuity method through Kähler-Einstein cone metrics in the resolution of Yau-Tian-Donaldson conjecture for Fano Kähler-Einstein metrics.

研究の動機と目的

• 滑らかな cscK 計量に関する Chen-Cheng の適切性および測地的安定性の予想を、円錐特異性を伴う場合に拡張すること。
• 通常のケーラー類の設定を超えて退化を許容する、大きなコhomology類における特異 cscK 計量の存在を確立すること。
• Donaldson の連続性法に類似した、cscK 円錐計量の経路に関する開性および近似性質を証明すること。
• cscK 計量の概念を、大きなコhomology類における特異的かつおそらく退化する計量を含むように一般化すること。
• 適切性および測地的安定性の基準を用いて、円錐設定における Yau-Tian-Donaldson 予想を確認すること。

提案手法

• 近似法を用いて、摂動された基準計量および円錐角を伴うねじれ cscK 方程式を解くことにより、cscK 円錐計量を構成する。
• 重み付き Hölder 空間および幾何的多項的正則性を用いて、除数近傍における cscK 円錐計量の正則性を扱う。
• 補助関数、切断関数、反復不等式を用いて、$L^∞$、$W^{2,p}$、$C^{1,1}$ 評価を含む事前評価を確立する。
• cone angle パrameter における対数Kエネルギーの連続性および $d_1$-距離の境界を用いて、近似解の列の収束を証明する。
• Evans-Krylov 評価を用いて、極限ポテンシャルの $C^{2,\alpha,\beta}$ 正則性を向上させる。
• テスト関数 $\eta$ を含む $\partial\bar{\partial}\eta$ に関する積分恒等式の極限を取ることで、スカラー曲率の極限方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cscK 円錐計量の存在は、円錐設定における対数Kエネルギー汎関数の適切性と同値か？
• RQ2 測地的安定性は、円錐特異性を伴う cscK 円錐計量の存在を特徴づけるか？
• RQ3 大きなコhomology類において、退化を伴う場合でも特異 cscK 計量を構成できるか？
• RQ4 cscK 円錐計量の経路は、Donaldson の連続性法に類似した開性および近似性質を示すか？
• RQ5 cone angle の変動に伴う対数Kエネルギーの振る舞いはいかなるものか？このパrameter において連続的か？

主な発見

• cscK 円錐計量の存在は、対数$K$-エネルギー汎関数の適切性と同値であり、Chen-Cheng の結果を円錐設定に拡張した。
• 測地的安定性は、cscK 円錐計量の存在と同値であり、Donaldson 予想の円錐版を確認した。
• 対数$K$-エネルギーは cone angle $\beta$ に関して連続であり、近似解の $d_1$-距離に対する一様な境界を許容する。
• 近似解の列 $\varphi_i$ は $d_1$-距離において極限 $\varphi_\infty$ に収束し、これは $C^{2,\alpha,\beta}$ cscK 円錐計量である。
• 極限ポテンシャル $\varphi_\infty$ は cone angle $\beta_0$ を持つ cscK 方程式を満たし、積分恒等式および密度論的議論により $F_\infty$ が $C^{2,\alpha,\beta}$ であることが示された。
• 本稿は、大きなコhomology類における特異 cscK 計量の構成（定理 4.40）を実現し、特異ケーラー＝アインシュタイン計量を一般化し、Yau のカラビ予想の解を特異的および退化する設定へと拡張した。