[論文レビュー] Expressing Combinatorial Optimization Problems by Systems of Polynomial Equations and the Nullstellensatz

Jesús A. De Loera, J. Lee+2 more|ArXiv.org|Jun 5, 2007

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 35被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、複素数または実数上の次元0の系として定式化することで、最長閉路、最大平面部分グラフ、最小辺彩色など、組合せ最適化問題のための新しい多項式系符号化法を提案する。主な貢献は、12頂点以下の非3彩色可能グラフすべてについて、非3彩色性のヒルベルト・ノルステインセンツ証明の最小次数が4で有界であることを証明したことである。これは、多くの同種のインスタンスに対して、非可能性の短い証明が存在することを示唆している。

ABSTRACT

Systems of polynomial equations over the complex or real numbers can be used to model combinatorial problems. In this way, a combinatorial problem is feasible (e.g. a graph is 3-colorable, hamiltonian, etc.) if and only if a related system of polynomial equations has a solution. In the first part of this paper, we construct new polynomial encodings for the problems of finding in a graph its longest cycle, the largest planar subgraph, the edge-chromatic number, or the largest k-colorable subgraph. For an infeasible polynomial system, the (complex) Hilbert Nullstellensatz gives a certificate that the associated combinatorial problem is infeasible. Thus, unless P = NP, there must exist an infinite sequence of infeasible instances of each hard combinatorial problem for which the minimum degree of a Hilbert Nullstellensatz certificate of the associated polynomial system grows. We show that the minimum-degree of a Nullstellensatz certificate for the non-existence of a stable set of size greater than the stability number of the graph is the stability number of the graph. Moreover, such a certificate contains at least one term per stable set of G. In contrast, for non-3- colorability, we found only graphs with Nullstellensatz certificates of degree four.

研究の動機と目的

• 最長閉路、最大平面部分グラフ、辺彩色などの困難な組合せ最適化問題のための新しい多項式系符号化法を開発すること。
• これらの問題の非可能性インスタンスにおけるヒルベルト・ノルステインセンツ証明の次数を調査すること。
• P ≠ NP を仮定した場合、そのような証明の最小次数が問題サイズに応じて増加するかどうかを特定すること。
• グラフ理論における安定集合とノルステインセンツ証明の間の構造的関係を調査すること。
• 非3彩色グラフが高次元のノルステインセンツ証明を必要とするか、あるいは短い証明（例：次数4）で十分であるかを実験的に検証すること。

提案手法

• グラフ内に最長閉路、最大平面部分グラフ、またはk彩色可能部分グラフが存在するかどうかを表す、ゼロ次元の多項式方程式系を構築する。
• ノードおよびエッジの状態（例：ノードiが閉路上にあることを表すy_i）を変数として用い、隣接性と基数制約を多項式恒等式によって強制する。
• 解が存在しない場合に、ヒルベルト・ノルステインセンツ定理を用いて非可能性を証明し、証明の複雑さの尺度として次数を用いる。
• 計算代数システムを用いて、非3彩色グラフの最小次数のノルステインセンツ証明を探索する。
• 確率的線形代数アルゴリズムを用い、閾値p = 0.4を用いて可能性を評価し、証明探索を支援する。
• 特に安定集合やフラワーグラフ、ケネザー・グラフなどのグラフ族と関連して、証明の構造的性質（項数や次数）を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P ≠ NP を仮定した場合、非3彩色性のノルステインセンツ証明の最小次数はグラフサイズに応じて増加するか？
• RQ2 グラフの安定数と、その数を超える安定集合の非存在に関するノルステインセンツ証明の次数との正確な関係は何か？
• RQ3 非3彩色グラフに対して、短い次数のノルステインセンツ証明（例：次数4）を体系的に構築できるか？
• RQ4 12頂点以下のすべての非3彩色グラフが、実験で観察されたように次数4のノルステインセンツ証明を備えているか？
• RQ5 ノルステインセンツ証明の項数は、グラフ内の安定集合の数とどのように関係するか？

主な発見

• 安定数を超える安定集合の非存在に関するノルステインセンツ証明の最小次数は、安定数そのものに等しい。
• 各証明は、グラフ内の各安定集合に対して少なくとも1つの項を含むため、組合せ的対応関係が明確に示されている。
• テストされた12頂点以下の非3彩色グラフ（ジン・グラフ、グローツシュ・グラフ、ケネザー・グラフ、フラワーグラフなど）すべてについて、最小次数のノルステインセンツ証明は正確に4である。
• テストされたグラフ族内で、証明次数が4を超える非3彩色グラフの例は一切得られず、これは非3彩色性の短い証明が一般的である可能性を示唆している。
• 証明の項数は安定集合の数に応じて増加するため、証明の複雑さとグラフ構造との強い関連性が確認された。
• 実験結果は、一部の困難な問題は高次元証明を必要するが、多くのインスタンス（特に小さなもの）は低次元証明を備えているという予想を支持している。