[論文レビュー] Families of Divisors on T-Varieties and Exceptional Sequences on C*-Surfaces

Andreas Hochenegger, Nathan Ilten|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2009

advanced mathematical theories参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有理的T-多様体の1パラメータ一様変形における任意のファイバーのピカード群から特殊ファイバーのピカード群への写像を確立し、オイラー標数と交点数を保存することを示している。変形が局所的に自明であるとき、この写像は同型である。滑らかで完全な有理的C*-表面に対しては、写像が明示的に記述され、その結果を、変形および退化におけるラインバンドルの例外的系列の挙動を研究するために応用し、固定されたピカード数をもつすべてのこのような表面が一様変形によって接続可能であることを証明している。

ABSTRACT

We show how one-parameter homogeneous deformations of rational T-varieties induce maps from a subgroup of the Picard group of any fiber of the deformation to the Picard group of the special fiber. If the special fiber is complete, this map preserves Euler characteristic and intersection numbers, and if the deformation is locally trivial, then this map is an isomorphism. We offer a simple description of this map for smooth, complete rational C ∗-surfaces. These results are then applied to analyze the behaviour of exceptional sequences of lines bundles on rational C ∗-surfaces under deformation and degeneration. We also show that all rational C ∗-surfaces of fixed Picard number can be connected by homogeneous deformations. Keywords: Toric varieties, deformation theory, T-varieties, exceptional sequences MSC: Primary 14D15, 14M25, 18E30.

研究の動機と目的

• 有理的T-多様体の一様変形がそのファイバーのピカード群に与える影響を理解すること。
• 有理的C*-表面におけるラインバンドルの例外的系列が変形および退化の下でどのように振る舞うかを分析すること。
• 固定されたピカード数をもつすべての有理的C*-表面を一様変形によって結ぶ関係を確立すること。
• 滑らかで完全な有理的C*-表面におけるピカード群写像を明示的に記述すること。
• 写像によって誘導されるピカード群間の写像が、オイラー標数と交点数といった重要な不変量を保存すること。

提案手法

• 有理的T-多様体の1パラメータ一様変形において、一般ファイバーのピカード群から特殊ファイバーのピカード群への写像を構成すること。
• 特殊ファイバーが完全であるとき、この写像がオイラー標数と交点数を保存することを証明すること。
• 変形が局所的に自明であるとき、ピカード群間の写像が同型であることを示すこと。
• 滑らかで完全な有理的C*-表面に対して、そのトーリックに似た構造を用いて写像の明示的な幾何的記述を提供すること。
• 写像を用いて、変形および退化の下でのラインバンドルの例外的系列の挙動を追跡すること。
• 変形論的技法を用いて、固定されたピカード数をもつすべての有理的C*-表面が一様変形の鎖によって接続可能であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的T-多様体の一様変形において、ファイバーのピカード群は特殊ファイバーのピカード群とどのように関係するか？
• RQ2 このような変形におけるピカード群間の誘導写像によって保存される不変量は何か？
• RQ3 有理的C*-表面におけるラインバンドルの例外的系列は、変形および退化の下でどのように振る舞うか？
• RQ4 固定されたピカード数をもつすべての有理的C*-表面を一様変形によって接続可能か？
• RQ5 滑らかで完全な有理的C*-表面におけるピカード群写像の明示的形は何か？

主な発見

• 特殊ファイバーが完全であるとき、ファイバーのピカード群から特殊ファイバーのピカード群への誘導写像は、オイラー標数と交点数の両方を保存する。
• 変形が局所的に自明であるとき、ピカード群間の誘導写像は同型である。
• 滑らかで完全な有理的C*-表面に対しては、表面の幾何を用いてピカード群間の写像が明示的に記述される。
• 有理的C*-表面におけるラインバンドルの例外的系列は、誘導写像を用いて変形および退化の下で予測可能に振る舞うことが示された。
• 固定されたピカード数をもつすべての有理的C*-表面は、一様変形の鎖によって接続可能であり、グローバルな変形同値性が確立された。
• 本結果は、T-多様体族におけるラインバンドルの系列とピカード群の挙動を体系的に研究するためのフレームワークを提供する。