[論文レビュー] Faster all-pairs shortest paths via circuit complexity

Ryan Williams|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 46被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、密度の高いグラフにおける全点対最短経路（APSP）問題に対する新しい確率的アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、回路複雑性の技術——特にRazborov-Smolensky多項式を用いて、Coppersmithのアルゴリズムを介してmin-plus行列積を効率的なブール行列積に還元することで、実行時間を $ n^3 / 2^{ ext{poly}( ext{log } n)^{1/2}} $ にまで短縮する。この結果、一般のAPSPに対して長年の $ n^3 / ext{poly}( ext{log } n) $ の壁を破った。

ABSTRACT

We present a new randomized method for computing the min-plus product (a.k.a., tropical product) of two $n imes n$ matrices, yielding a faster algorithm for solving the all-pairs shortest path problem (APSP) in dense $n$-node directed graphs with arbitrary edge weights. On the real RAM, where additions and comparisons of reals are unit cost (but all other operations have typical logarithmic cost), the algorithm runs in time \[\frac{n^3}{2^{Ω(\log n)^{1/2}}}\] and is correct with high probability. On the word RAM, the algorithm runs in $n^3/2^{Ω(\log n)^{1/2}} + n^{2+o(1)}\log M$ time for edge weights in $([0,M] \cap {\mathbb Z})\cup\{\infty\}$. Prior algorithms used either $n^3/(\log^c n)$ time for various $c \leq 2$, or $O(M^αn^β)$ time for various $α> 0$ and $β> 2$. The new algorithm applies a tool from circuit complexity, namely the Razborov-Smolensky polynomials for approximately representing ${\sf AC}^0[p]$ circuits, to efficiently reduce a matrix product over the $(\min,+)$ algebra to a relatively small number of rectangular matrix products over ${\mathbb F}_2$, each of which are computable using a particularly efficient method due to Coppersmith. We also give a deterministic version of the algorithm running in $n^3/2^{\log^δ n}$ time for some $δ> 0$, which utilizes the Yao-Beigel-Tarui translation of ${\sf AC}^0[m]$ circuits into "nice" depth-two circuits.

研究の動機と目的

• 密度の高いグラフにおける任意の辺重みをもつ全点対最短経路（APSP）問題に対して、長年の $ n^3 / ext{poly}( ext{log } n) $ 実行時間の壁を打ち破ること。
• 特に $ ext{AC}^0[p] $ 回路に対する回路複雑性技術が、APSPの核となるmin-plus行列積を高速化できるかどうかを調査すること。
• min-plus行列積が $ O(n^3) $ より速く計算可能であることを示し、それを少数の構造的ブール行列積に還元すること。
• Yao-Beigel-Taruiの回路変換を用いて、$ n^3 / 2^{ ext{log}^eta n} $ 時間で実行される決定的バージョンのアルゴリズムを提示すること（$ eta > 0 $ とする）。
• 現在の技術では $ o(n^3) $ のAPSPアルゴリズムは不可能であるという一般的な予想に挑戦し、回路複雑性と行列積アルゴリズムの間の新しい接続を導入すること。

提案手法

• Razborov-Smolensky多項式を用いて、$ ( ext{min}, +) $ 内積を計算する $ ext{AC}^0[2] $ 回路を近似的に表現する。
• $ n imes n $ のmin-plus行列積を、$ d = 2^{ ext{poly}( ext{log } n)} $ である $ n imes d $ のサイズを持つ $ ilde{O}(n) $ 個の $ ext{GF}(2) $ 上の長方形行列積に還元する。
• Coppersmithのアルゴリズムを適用し、$ d $ が小さい場合に $ n^{2+o(1)} $ 時間で $ n imes d $ と $ d imes n $ の行列積を計算する。
• 確率的還元戦略を用い、$ ext{AC}^0[2] $ 回路の多項式近似を活用して、高い確率で正しく動作することを保証する。
• 決定的バージョンでは、Yao-Beigel-Tarui法を用いて $ ext{AC}^0[m] $ 回路を2段階の回路に変換し、より遅いが保証された部分立方時間の実行を可能にする。
• 回路から多項式への変換と、誤差の厳密なバウンディング機構を組み合わせることで、還元過程でもmin-plus積が保持されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 回路複雑性技術を用いて、全点対最短経路問題に対して真に部分立方時間（subcubic）の実行が可能になるか？
• RQ2 min-plus行列積を、高速に計算可能な少数の構造的ブール行列積に還元することは可能か？
• RQ3 代数的および回路理論的洞察を用いて、一般のAPSPに対する $ n^3 / ext{poly}( ext{log } n) $ 実行時間の壁を破ることが可能か？
• RQ4 従来の動的計画法やルックアップベースの手法よりも、$ ( ext{min}, +) $ 内積はより効率的な表現を許容するか？
• RQ5 $ ext{AC}^0[2] $ 回路とmin-plus積の間の接続は、APSP困難クラスの他の問題に対してもより高速なアルゴリズムをもたらすか？

主な発見

• 本稿は、実RAM上での高確率で正しく動作する確率的APSPアルゴリズムを提示し、実行時間は $ n^3 / 2^{ ext{poly}( ext{log } n)^{1/2}} $ である。
• 整数辺重みが $ [0, M] $ の範囲にあるワードラム上では、アルゴリズムの実行時間は $ n^3 / 2^{ ext{poly}( ext{log } n)^{1/2}} + n^{2+o(1)} ext{log } M $ 時間である。
• アルゴリズムは、$ d = 2^{ ext{poly}( ext{log } n)} $ である $ n imes d $ のサイズを持つ $ ilde{O}(n) $ 個の $ ext{GF}(2) $ 上の長方形行列積にmin-plus積を還元する。
• Coppersmithのアルゴリズムを用いて、各 $ n imes d $ および $ d imes n $ のブール行列積を $ n^{2+o(1)} $ 時間で計算し、全体的な高速化を実現する。
• Yao-Beigel-Taruiの変換を用いた決定的バージョンのアルゴリズムは、ある $ eta > 0 $ に対して $ n^3 / 2^{ ext{log}^eta n} $ 時間で実行される。
• 本研究は、回路複雑性と行列積アルゴリズムの間に新しい接続を確立し、$ ( ext{min}, +) $ 行列積が整数行列積よりも本質的に簡単である可能性を示唆している。