[論文レビュー] Finite deformations from a heterotic superpotential: holomorphic Chern--Simons and an $L_\infty$ algebra

Anthony Ashmore, Xenia de la Ossa+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 63被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ヘテロティック超ポテンシャルを用いて、Hull–Strominger系の有限変形を導出し、モジュリ空間がホロモルフィックチャーン・サイモンズ理論を一般化する3次のモーラー＝カルタン方程式に従うことを示している。スケーリングされた局所は$L_\infty$代数によって記述され、複素構造、バンドル、ヘッルメートィアンモジュリが1つのコhomological枠組みに統合され、Aeppliコホモロジーと変形写像の像条件を用いて質量ゼロの場の数え上げが洗練されている。

ABSTRACT

We consider finite deformations of the Hull--Strominger system. Starting from the heterotic superpotential, we identify complex coordinates on the off-shell parameter space. Expanding the superpotential around a supersymmetric vacuum leads to a third-order Maurer--Cartan equation that controls the moduli. The resulting complex effective action generalises that of both Kodaira--Spencer and holomorphic Chern--Simons theory. The supersymmetric locus of this action is described by an $L_3$ algebra.

研究の動機と目的

• Hull–Strominger系の有限次数の変形を、無限小のレベルを越えて導出すること。
• ヘテロティック超ポテンシャルを用いて、複素構造、バンドル、ヘッルメートィアンモジュリを1つの有効作用に統合すること。
• スケーリングされた局所が$L_3$代数に従うことを示し、特殊幾何学およびKodaira–Spencer理論を一般化すること。
• 障害条件およびゲージ対称性条件を組み込むことで、質量ゼロのモジュリの数え上げを洗練すること。

提案手法

• ヘテロティック超ポテンシャルにおける場の変形を行い、超ポテンシャルおよびその微分の消滅を課して有限変形条件を導出する。
• 超ポテンシャルの正則性を用いて、モジュリ空間を支配する3次のモーラー＝カルタン方程式を導出する。
• 超対称真空の周囲での超ポテンシャルの展開を通じて、非オフシェルパrameter空間上の複素座標を特定する。
• モジュリをコホモロジー群$\text{H}^{(0,1)}_{\overline{D}}(\tilde{\mathcal{Q}})$に結びつける。ここで$\tilde{\mathcal{Q}}$はバンドルの拡張によって定義される。
• ヘッルメートィアンモジュリをAeppliコホモロジー$\text{H}^{(0,1)}_{\overline{\partial}}(T^{*(1,0)}X / \partial\text{-exact})$の要素として特徴づけ、所定の幾何構造のもとで$\text{H}^{(1,1)}_{\overline{\partial}}(X)$と同型であることを示す。
• 質量ゼロのモジュリの核および像条件を決定する写像$\mathcal{H}$および$\mathcal{F}_\alpha$を定義し、$\mathcal{F}_\alpha$は$\text{H}^0(\text{End}V_\mathbb{C})$からのゲージ変換を符号化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hull–Strominger系の有限変形は、どのようにヘテロティック超ポテンシャルから導出可能か？
• RQ2 有限モジュリ変形の有効作用を記述するホロモルフィックチャーン・サイモンズ理論の一般化は何か？
• RQ3 モジュリ空間のスケーリングされた局所は、どのように$L_\infty$代数構造に符号化されるか？
• RQ4 障害条件およびゲージ対称性条件を組み込んだ場合、質量ゼロのモジュリの数え上げはどのように洗練されるか？
• RQ5 Aeppliコホモロジーと変形写像からの像条件は、標準的なホッジ数のモジュリ数え上げをどのように洗練するか？

主な発見

• 有限変形問題は、超ポテンシャルから導かれる3次のモーラー＝カルタン方程式に従い、Kodaira–Spencer理論およびホロモルフィックチャーン・サイモンズ理論の両方を一般化する。
• Hull–Strominger系のモジュリ空間は$L_3$代数によって記述され、複素構造、バンドル、ヘッルメートィアン変形の完全な構造を符号化する。
• 質量ゼロのモジュリの数は$|\ker{\cal H}| + |\ker{\cal F}_{\alpha}| + |\operatorname{im}{\cal H} \cap \operatorname{im}{\cal F}_{\alpha}|$で与えられ、最後の項は混合モジュリを反映する。
• ヘッルメートィアンモジュリは$h^{(1,1)}$で数えられるが、$\mathcal{F}_\alpha$の像によって、ゲージ同値な方向がモジュリ空間から除去される。
• $\text{H}^{(0,1)}_{\overline{\partial}}(T^{*(1,0)}X / \partial\text{-exact})$は、仮定$\text{H}^{(0,2)}(X) = 0$のもとで$\text{H}^{(1,1)}_{\overline{\partial}}(X)$と同型であり、標準的なホッジ数の数え上げが正当化される。
• $\mathcal{H}(\mu_0) \subseteq \operatorname{im}{\cal F}_\alpha$の条件は、質量ゼロの複素構造モジュリを選別し、$\alpha_0^\text{c} \in \ker{\cal F}_\alpha$は、質量ゼロのバンドルモジュリを選別する。