[論文レビュー] Flag manifold sigma models: spin chains and integrable theories

Ian Affleck, Dmitri Bykov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2021

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 222被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、SU(n)スピン鎖とフラッグ多様体σ模型の間の包括的な枠組みを確立し、系の量子位相を支配するトポロジカル角θ_A = 2πpA/nが成り立つことを示している。gcd(n,p)=1のとき、分数インスタントンが破壊的干渉を起こし、ギャップなしの相が生じるのに対し、それ以外の場合はクーロンガス機構によって有限ギャップが開くことが証明されており、ハルデーンの予想をSU(n)に一般化している。

ABSTRACT

This review is dedicated to two-dimensional sigma models with flag manifold target spaces, which are generalizations of the familiar $CP^{n-1}$ and Grassmannian models. They naturally arise in the description of continuum limits of spin chains, and their phase structure is sensitive to the values of the topological angles, which are determined by the representations of spins in the chain. Gapless phases can in certain cases be explained by the presence of discrete 't Hooft anomalies in the continuum theory. We also discuss integrable flag manifold sigma models, which provide a generalization of the theory of integrable models with symmetric target spaces. These models, as well as their deformations, have an alternative equivalent formulation as bosonic Gross-Neveu models, which proves useful for demonstrating that the deformed geometries are solutions of the renormalization group (Ricci flow) equations, as well as for the analysis of anomalies and for describing potential couplings to fermions.

研究の動機と目的

• 対称表現を伴うSU(n)系へのスピン鎖におけるハルデーンの予想を一般化すること。
• SU(n)スピン鎖の低エネルギー有効場理論としてフラッグ多様体σ模型を導出すること。
• トポロジカル角の出現と、ギャップの有無を決定づけるその役割を説明すること。
• ゼロ曲率表現および4次元チェーン＝シモンズ理論を用いてフラッグ多様体σ模型の可積分性を確立すること。
• ゲージ化されたグロス＝ネブー系と異常マッチング条件を用いて、これらのモデルの記述を統一すること。

提案手法

• 一様状態の経路積分による量子化を用いて、フラッグ多様体SU(n)/[U(1)]^{n-1}をσ模型の到達空間として構成する。
• CP^{n-1}上のフィュビニ＝シュテュルム形式の引き戻しにより、トポロジカル角θ_A = 2πpA/nを導出する。
• ‘t Hooftの異常マッチングを適用し、PSU(n)対称性とZ_n並進対称性が同時にゲージ化可能であるのは、gcd(n,p)=1である場合に限ることを示す。
• ゼロ曲率表現とノルム的軌道を用いて、非トポロジカルなB場を伴う可積分な摂動を構成する。
• σ模型をゲージ化された線形σ模型およびβγ系と関連づけ、チャーラル・グロス＝ネブー模型と同等であることを確立する。
• 三角関数的摂動を施したモデルの1ループβ関数を計算し、双対コクセター数にのみ依存することを示し、'さつまいも'モデルの解を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカル角θ_A = 2πpA/nは、どのようにSU(n)スピン鎖から生じるのか。また、ギャップ構造を決定づける役割は何か。
• RQ2 フラッグ多様体σ模型がギャップなし相を示す条件は何か。これはハルデーンの元来の予想をどのように一般化するか。
• RQ3 分数インスタントンは質量生成にどのように寄与するのか。また、gcd(n,p)=1のギャップなし相においてその役割は何か。
• RQ4 フラッグ多様体σ模型の可積分性とゼロ曲率表現、または4次元チェーン＝シモンズ理論との関係は何か。
• RQ5 ゲージ化されたグロス＝ネブー模型およびWZNW模型はフラッグ多様体σ模型とどのように関係するのか。異常キャンセリングの役割は何か。

主な発見

• SU(n)ハルデーンの予想が一般化された：系は、gcd(n,p)=1である場合に限りギャップなしであり、基底状態の degeneracy はn/gcd(n,p)である。
• gcd(n,p)=1のとき、電荷1/nの分数インスタントンが破壊的干渉を起こし、有効な不活性度がゼロとなり、ギャップなし相が生じる。
• 広範なクラスの三角関数的摂動を施したフラッグ多様体σ模型の1ループβ関数は普遍的であり、双対コクセター数にのみ依存する。
• フラッグ多様体σ模型は、チャーラル・ゲージ化グロス＝ネブー模型と厳密に同等であり、可積分性および異常の解析に新たな道筋を提供する。
• nを割るmについて、Z_m対称性がフラッグ多様体の複素構造から生じ、ゲージ理論的構成を介してクイバー多様体と関連づけられる。
• SU(n)スピン鎖の連続極限は、到達空間がSU(n)/[U(1)]^{n-1}であるσ模型をもたらし、トポロジカル項はフラッグ多様体のコホロロジーに符号化されている。