[論文レビュー] Flat family of QFTs and quantization of d-algebras

Jae-Suk Park|ArXiv.org|Aug 20, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、モジュライ空間 $Τ\mathfrak{M}$ でパrameter化された平坦な量子場の理論（QFT）の族を提案する。各点における接空間は、量子観測可能量の空間に対応する。バタリン＝ヴィルコビッチ（BV）形式主義を用いて、この族上に平坦な量子接続を導入し、すべての相関関数を平坦な切断を通じて計算可能にする。また、$(d+1)$-次元多様体上の代数的・微分的・位相的構造を用いて、$d$-代数の普遍的量子化装置を確立する。

ABSTRACT

Exploiting the path integral approach al la Batalin and Vilkovisky, we show that any anomaly-free Quantum Field Theory (QFT) comes with a family parametrized by certain moduli space M, which tangent space at the point corresponding to the initial QFT is given by the space of all observables. Furthermore the tangent bundle over M is equipped with flat quantum connection, which can be used to determine all correlation functions of the family of QFTs. We also argue that considering family of QFTs is an inevitable step, due to the fact that the products of quantum observables are not quantum observables in general, which leads to a new "global" perspective on quantum world. We also uncover structure of $d$-algebra in the large class of d-dimensional QFT. This leads to an universal quantization machine for d-algebras decorated by algebro-differential-topology of (d+1)-manifolds as well as a new perspective on differential-topology of low dimensions. This paper is a summary of a forthcoming paper of this author.

研究の動機と目的

• 標準的QFTにおいて、量子観測可能量の積が量子観測可能量でないという問題を、理論をより大きなQFT族に埋め込むことで解決すること。
• すべての相関関数がQFTのモジュライ空間上の平坦接続を通じて決定される、幾何的枠組み（平坦な量子構造）を構築すること。
• 境界付き多様体上のBV量子化と$(d+1)$次元場の理論を用いて、$d$-代数への変形量子化の一般化を図ること。
• $(d+1)$-次元多様体からの代数的・微分的・位相的データを用いて、$d$-代数の普遍的量子化装置を確立すること。

提案手法

• ゲージ対称性を有する古典的作用から、量子的弱ホモトピー的リー$(-1)$-代数的構造を、バタリン＝ヴィルコビッチ（BV）形式主義を用いて構成する。
• モジュライ空間 $\mathfrak{M}$ を、量子マスター方程式の解の同値類の集合として定義し、初期のQFTを基点 $o\in\mathfrak{M}$ として位置づける。
• 接空間 $T_o\mathfrak{M}$ を量子観測可能量の空間と同一視することで、形式的近傍展開を用いて積の異常を解消する。
• $\hbar$ に関して形式的である平坦な量子接続を接バンドル $T\mathfrak{M}$ 上に導入し、経路積分が平坦な切断として実現されるようにする。
• 境界付き$(d+1)$-次元多様体上にシンプレクティック $s$-代数を備えたプリ-QFTを構成し、境界上で強いホモトピー的リー $d$-代数的構造を導く。
• 配置空間上の2階関数的微分の極限として定義されるBV作用素 $\boldsymbol{\Delta}$ を用いて、量子コボルディズム枠組みを提唱する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的QFTにおいて、量子観測可能量の積が閉じないという問題は、どのように解決可能か？
• RQ2 すべての相関関数が平坦接続を通じて符号化されるようなQFT族の背後にある幾何的構造は何か？
• RQ3 $(d+1)$-次元多様体からの位相的データを用いて、$d$-代数を普遍的に量子化することは可能か？
• RQ4 BV作用素 $\boldsymbol{\Delta}$ は、量子平坦構造およびその完成 $\overline{\mathfrak{Q}}\to\overline{\mathfrak{M}}$ を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ5 境界付き多様体上のBV形式主義から、量子コボルディズム理論を構築することは可能か？

主な発見

• QFTにおける量子観測可能量の空間は、異常なしQFTのモジュライ空間 $\mathfrak{M}$ の接空間に対応し、量子論のグローバルな視点を可能にする。
• $\hbar$ に関して形式的である平坦な量子接続が $T\mathfrak{M}$ 上に存在し、これが族の生成関数を支配する。これにより、すべての相関関数が平坦な切断として計算可能になる。
• 量子マスター方程式の解の空間が $\mathfrak{M}$ を定義し、その形式的近傍展開により、観測可能量の積の非閉包性の問題が解消される。
• 境界付き$(d+1)$-次元多様体上に定義されたプリ-QFTは、境界上で強いホモトピー的リー $d$-代数的構造を生じさせ、コンツェビッチの変形量子化を一般化する。
• BV作用素 $\boldsymbol{\Delta}$ は、2階関数的微分の極限として提案されるが、その普遍的定義は未解決の問題のままである。
• この枠組みは、$d$-および$(d+1)$-次元多様体からの代数的・微分的・位相的不変量を装飾する、$d$-代数の普遍的量子化装置を示唆する。