[論文レビュー] Topological Open Membranes

Christiaan Hofman, Jae-Suk Park|ArXiv.org|Sep 18, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 87被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、BF型のトポロジカルなオープン膜に対して、明示的なBV形式主義を提案し、体積の変形（例えば閉3形式）が境界作用素にホモトピーLie代数構造を誘導することを示している。この構造は、擬似Lie双代数やCourant代数として実現される。主な結果は、このモデルの経路積分がCourant代数の形式的量子化を提供することであり、Kontsevichの変形量子化を非自明な体積結合を持つ高次元のオープン膜に一般化するものである。

ABSTRACT

We study topological open membranes of BF type in a manifest BV formalism. Our main interest is the effect of the bulk deformations on the algebra of boundary operators. This forms a homotopy Lie algebra, which can be understood in terms of a closed string field theory. The simplest models are associated to quasi-Lie bialgebras and are of Chern-Simons type. More generally, the induced structure is a Courant algebroid, or ``quasi-Lie bialgebroid'', with boundary conditions related to Dirac bundles. A canonical example is the topological open membrane coupling to a closed 3-form, modeling the deformation of strings by a C-field. The Courant algebroid for this model describes a modification of deformation quantization. We propose our models as a tool to find a formal solution to the quantization problem of Courant algebroids.

研究の動機と目的

• 体積の変形の下で境界作用素代数を研究するために、明示的なBV形式主義を用いてトポロジカルなオープン膜を形式化すること。
• 特に閉3形式のような体積結合が境界にどのような代数的構造を誘導するかを理解すること。これにより、変形量子化を一般化する。
• オープン膜モデルの経路積分を用いて、Courant代数の量子化問題に対する形式的解を提示すること。
• オープン膜理論と擬似Lie双代数との間の対応関係を確立し、非アーベル2形式ゲージ理論への応用を示すこと。

提案手法

• シンプレクティック超多様体を標的空間とするBF型のシグマ模型として、トポロジカルなオープン膜をBV形式主義で記述すること。
• 変形複体のコホロジーから導かれるホモトピーLie代数として、境界作用素代数を分析すること。
• 体積の変形を境界代数のホッホシュィルトコホロジーの類として特定し、3形式と双ベクトルを主な変形パラメータとする。
• 局所ゲージ対称性を用いて、境界における変形量子積の局所的スター積実現を構成すること。
• 変形複体が体積成分と境界成分に分解されることを示し、3形式と双ベクトルの変形を反映する。
• 3形式結合を持つオープン膜モデルが、正確なCourant代数を実現し、ポアソン構造を擬似ポアソン構造へ変形することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカルなオープン膜理論における体積の変形が、境界作用素代数にどのように影響を与えるか？
• RQ2 膜が閉3形式に結合する場合、境界にどのような代数的構造が現れるか？
• RQ3 このような膜モデルの経路積分が、Courant代数の形式的量子化を提供できるか？
• RQ4 BV形式主義は、高次元トポロジカル場理論における体積と境界の変形の相互作用をどのように符号化するか？
• RQ5 オープン膜モデルと擬似Lie双代数、あるいは擬似ホップ代数との関係は何か？

主な発見

• オープン膜が体積に3形式に結合するとき、境界作用素代数はホモトピーLie代数を形成し、これは擬似Lie双代数として実現される。
• 3形式結合は境界に擬似ポアソン構造を誘導し、Kontsevichの変形量子化を、ポアソン双ベクトルの非自明な変形に一般化する。
• 境界代数の変形複体は2つの成分に分解される：$H^3(M)$ は3形式に由来し、$igwedge^2 TM$ は双ベクトルに由来する。これは体積と境界の変形を反映する。
• オープン膜モデルの経路積分は、Courant代数の形式的量子化を定義し、3形式が標準的な変形量子化を変形する。
• モデルは、Chern-Simons/WZW対応の高次元への一般化を実現し、$G/G$ WZWモデルは擬似Lie双代数の特別な場合として現れる。
• オープン膜モデルは、擬似Lie双代数の普遍的量子化公式を提供し、Etinghof-Kazhdanによる可量子化性の証明の代替手段を提供する。