[論文レビュー] Formal composition of hybrid systems

Jared Culbertson, Paul Gustafson+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2019

Semantic Web and Ontologies被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、垂直にカルテジアンな二重圏を用いて、階層的・逐次的・並列的合成を通じてハイブリッドシステムの形式的合成を形式的に行う圏論的枠組みを提示する。階層性にはテンプレート・アンカー対、逐次的フローには有向ハイブリッドシステム、並列的合成には圏積を導入し、ファイバー積と押し出しを用いて整合性を保証する。

ABSTRACT

We develop a compositional framework for formal synthesis of hybrid systems using the language of category theory. More specifically, we provide mutually compatible tools for hierarchical, sequential, and independent parallel composition. In our framework, hierarchies of hybrid systems correspond to template-anchor pairs, which we model as spans of subdividing and embedding semiconjugacies. Hierarchical composition of template-anchor pairs corresponds to the composition of spans via pullback. To model sequential composition, we introduce "directed hybrid systems," each of which flows from an initial subsystem to a final subsystem in a Conley-theoretic sense. Sequential composition of directed systems is given by a pushout of graph embeddings, rewriting the continuous dynamics of the overlapping subsystem to prioritize the second directed system. Independent parallel composition corresponds to a categorical product with respect to semiconjugacy. To formalize the compatibility of these three types of composition, we construct a vertically cartesian double category of hybrid systems where the vertical morphisms are semiconjugacies, and the horizontal morphisms are directed hybrid systems.

研究の動機と目的

• 物理的実装可能性と形式的正しさの証明を支援する、数学的に厳密な合成的枠組みをハイブリッドシステム合成のために開発すること。
• 階層的・逐次的・並列的の3つの主要な合成パターンを、1つの圏論的構造に統合すること。
• 物理的力学に基づく非ブロッキングで決定論的な実行を伴うハイブリッドダイナミクスを用いて、ロボット制御システムをモデル化すること。
• コンポーネントの構造的合成を通じて、複雑なロボット行動の形式的検証と合成を支援すること。
• 将来の形式的技法（線形時相論理や関数的反応プログラミングなど）との統合の基盤を築くこと。

提案手法

• 階層的合成を、半随伴写像のスパンとして表すテンプレート・アンカー対を用い、ファイバー積による合成を実装する。
• 有向ハイブリッドシステムを、初期から最終のサブシステムへの流れを表す半随伴写像のコスパンとして定義する。
• グラフ埋め込みの押し出しを用いて逐次的合成を実装し、重複領域におけるダイナミクスを第2システムに優先するように再書き込みする。
• 半随伴写像に関しての圏積を用いて、独立した並列的合成を形式化する。
• 垂直方向の射が半随伴写像で、水平方向の射が有向ハイブリッドシステムである垂直にカルテジアンな二重圏を構築する。
• 垂直および水平方向の合成をサポートする二重圏に統合することで、すべての合成タイプの整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイブリッドシステムの階層的合成を、物理的および動的整合性を保ちながら、圏論を用いて形式的にモデル化する方法は何か？
• RQ2 重複領域における優先的ダイナミクスを有するハイブリッドシステムの強固な逐次的合成を可能にする圏論的構成は何か？
• RQ3 ハイブリッドシステムの独立した並列的合成を形式化する方法は何か？ これにより、不安定化を引き起こす相互干渉を回避し、安定性を保証できるか？
• RQ4 二重圏構造は、階層的・逐次的・並列的合成を1つの整合的な枠組みに統合する方法として、どのように機能するか？
• RQ5 提案された枠組みは、時相論理やリャプノフに基づく手法を用いた形式的検証および合成をサポートするように、どのように拡張可能か？

主な発見

• 著者らは、階層的・逐次的・並列的合成のすべてをサポートする垂直にカルテジアンな二重圏としてのハイブリッドシステムの構築に成功した。
• 階層的合成は、半随伴写像のスパンとして形式化され、ファイバー積による合成によってサブシステム間の整合性が保証される。
• 逐次的合成は、グラフ埋め込みの押し出しとして実装され、重複領域のダイナミクスが順序の第2システムに優先されるように再書き込みされる。
• 独立した並列的合成は、半随伴写像に関しての圏積として実現され、独立性と安定性が保持される。
• 垂直および水平方向の射が明確に定義された二重圏に統合されることで、すべての合成タイプ間の整合性が保証される。
• この構築は、将来の形式的検証、型理論、および時相論理に基づく合成手法との統合の基盤を提供する。