[論文レビュー] Foundations of negative imaginary systems theory and relations with positive real systems

Augusto Ferrante, Alexander Lanzon+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2014

Piezoelectric Actuators and Control参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、連続時間および離散時間の両領域における非有理的負虚数（NI）システムの基礎的理論を確立し、有理的伝達関数を超えたNI理論を一般化する。本稿では、初めて離散時間NIシステムを定義し、厳密NIシステムの複数の概念を導入し、離散時間NI補題を用いた相互接続の安定性条件を導出することで、NI理論と正実システム理論を共通の解析的枠組みで統合する。

ABSTRACT

In this paper we lay the foundations of a not necessarily rational negative imaginary systems theory and its relations with positive real systems theory and, hence, with passivity. In analogy with the theory of positive real functions, in our general framework, negative imaginary systems are defined in terms of a domain of analyticity of the transfer function and of a sign condition that must be satisfied in such domain. In this way, on the one hand, our theory does not require to restrict the attention to systems with rational transfer function and, on the other hand | just by suitably selecting the domain of analyticity to be either the right half complex plane or the complement of the unit disc in the complex plane | we particularize our theory to both continuous-time and to discrete-time systems. Indeed, to the best of our knowledge, this is first time that discrete-time negative imaginary systems are studied in the literature. In this work, we also aim to provide a unitary view of the different notions that have appeared so far in the literature within the framework of positive real and in the more recent theory of negative imaginary systems, and to show how these notions are characterized and linked to each other. A stability analysis result for the interconnection of discrete-time systems is also derived.

研究の動機と目的

• 連続時間および離散時間の両システムに適用可能な、一般で非有理的の負虚数システム理論の枠組みを構築すること。
• 標準定義を超えた、厳密負虚数システムの複数の概念を定義・特徴づけること。
• 文献において初めて、離散時間負虚数システムの概念を導入すること。
• 離散時間負虚数補題および相互接続されたシステムの安定性解析結果を確立すること。
• 共通の解析的枠組みを通じて、負虚数システム理論と正実システム理論を統合すること。

提案手法

• 伝達関数行列の虚部における符号条件と解析接続領域を用いて、負虚数システムを定義する。
• 連続時間では右半平面、離散時間では単位円外部を用い、NI特性を一般化する。
• スペクトル特性に基づき、D-SSNI、D-WSNI、D-NI などの複数の厳密NIシステムの定義を導入する。
• 線形行列不等式（LMI）を用いた完全な状態空間特徴付けを提供する離散時間負虚数補題を導出する。
• 相互接続の解析にレッドヒッファー星積（Redheffer star product）を適用し、安定性条件を導出する。
• 双一次変換を用いて離散時間NIシステムと連続時間システムを関連付け、既知の安定性結果を移転する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有理的で一般化された枠組みにおいて、負虚数システムを連続時間および離散時間の両システムに適用可能に定義する方法は何か？
• RQ2 標準定義を超えた、厳密負虚数システムの適切な一般化とは何か？
• RQ3 先行文献にその理論が存在しないため、離散時間負虚数システムを形式的に定義・特徴づける方法は何か？
• RQ4 離散時間負虚数システムと正実システムの関係は何か？また、それらは連続時間の類似物とどのように関連するか？
• RQ5 離散時間負虚数システムの相互接続を支配する安定性条件は何か？また、それらは状態空間表現からどのように導出可能か？

主な発見

• 本稿では、単位円外部における解析性と伝達関数の虚部における符号条件を用いた、初めての形式的定義としての離散時間負虚数システムを導入する。
• D-SSNI、D-WSNI、D-NI などの複数の厳密負虚数システムの概念が定義・特徴づけられ、古典的NI枠組みが拡張される。
• 線形行列不等式（LMI）を用いた完全な状態空間特徴付けを提供する離散時間負虚数補題が導出される。
• 離散時間負虚数システムおよび弱く厳密な負虚数システムの相互接続の安定性条件が確立され、スペクトル半径において P(1)Q(1) < 1 を要件とする。
• 解析接続領域（連続時間：右半平面、離散時間：単位円外部）を特徴とする、同一の解析的枠組みによって連続時間および離散時間のNIシステムが統合される。
• 本研究の結果は、有理的かつ有限次元のシステムに限らないNI理論の拡張を実現するとともに、正実システム理論との関連を確立する。