[論文レビュー] One simple postulate implies that every polytopic state space is classical

Corsin Pfister|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、測定結果が決定論的に予測可能である場合、状態が測定後に変化しないという、物理的に直感的な1つの仮説が、多角形状態空間を持つ非古典的確率論的理論を完全に除外することを示している。この結果により、このような枠組み内では、唯一古典的理論がこの繰り返し性条件を満たすことが明らかとなり、量子理論や他の一般化確率論的理論とを区別する、新たな操作的原理が得られる。

ABSTRACT

In order to find a physical axiomatization of quantum theory, physical theories are often considered as a special case of a much more general framework of generalized probabilistic theories. We first present a detailed introduction to generalized probabilistic theories before we examine new approaches towards a physical axiomatization of quantum theory. The main result of the thesis is that one postulate concerning post-measurement states (which have gained almost no attention in this context so far) is sufficient to rule out all probabilistic theories with a polytopic state space, except for classical theory. The postulate states that a measurement with a definite outcome does not alter the state. This rules out almost all toy theories considered so far, for instance the PR-box, but is compatible with quantum theory. Thus, this result can be seen as an approach towards a classification of quantum theory in physical terms. It only deals with local state spaces, in contrast to other approaches that are mostly concerned with nonlocality in composite systems.

研究の動機と目的

• 多角形状態空間を有する一般化確率論的理論のなかで、古典的理論を一意に特徴付ける最小限の物理的仮説を特定すること。
• 測定後の状態の振る舞いが、古典的理論と非古典的理論をどのように区別するかを調査すること。
• 抽象的状態空間および多角形理論の包括的枠組みを構築し、分析の基盤とすること。
• 繰り返し性、部分空間原理、状態識別原理という3つの仮説を用いて、多角形理論のなかで古典的理論を公理化できることを示すこと。
• 繰り返し性仮説が、すべての非古典的多角形理論を排除するのに十分であることを確立し、古典的性質を明確にすること。

提案手法

• 実ベクトル空間 A、正の錐 A+、順序単位 uA によって定義される抽象的状態空間枠組みを用いて、一般化確率論的理論を形式化すること。
• 測定を正の線形汎関数（効果）として定義し、測定後の状態を条件付きダイナミクスによって記述すること。
• 繰り返し性仮説を導入：測定結果が確実に得られる場合、状態は測定後に変化しないこと。
• 有限次元における状態空間の特徴づけを目的として、凸集合、極値点、面、多面体の構造を分析すること。
• 凸幾何学と双対性理論（例：Kreïn-Milman定理、Carathéodoryの定理）を用いて、状態空間幾何の制約を導出すること。
• 繰り返し性仮説が、すべての純粋状態が極値的であり、かつ状態空間が単体であることを強制することを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測定後の状態に関する1つの仮説が、多角形状態空間を持つすべての非古典的確率論的理論を除外できるか？
• RQ2 特定の測定の繰り返し性が、一般化確率論的枠組みにおける古典的理論をどの程度特徴づけるか？
• RQ3 多角形状態空間の構造的性質が、非古典的理論の存在をどの程度制限するか？
• RQ4 多角形クラスにおいて、繰り返し性仮説と2つの追加原理を組み合わせることで、古典的理論を一意に導出できるか？
• RQ5 凸幾何学は、一般化確率論的理論における状態空間の物理的意味をどのように決定づけるか？

主な発見

• 測定結果が確定的である場合に状態が変化しないという繰り返し性仮説は、すべての多角形状態空間が古典的でなければならないことを示唆する。
• 繰り返し性仮説を満たす唯一の多角形状態空間は単体であり、これは古典的確率論に対応する。
• 多角形理論の枠組みにおいて、古典的理論は繰り返し性、部分空間原理、状態識別原理という3つの仮説によって一意に特徴づけられる。
• 証明は、凸幾何学と双対性の議論を用いて、繰り返し性条件が状態空間を単体に強制することに依拠している。
• この結果により、量子理論は繰り返し性仮説を満たすが、この条件では除外されない一方で、非古典的多角形理論は除外されることになる。
• この枠組みにより、コンパクトな凸集合と抽象的状態空間との間の一対一対応が確立され、状態空間構造の厳密な分析が可能になる。