[論文レビュー] Frame ambiguity in Open Gromov-Witten invariants

Vito Iacovino|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$ \mathbb{R}^2 \times S^1$ に微分同相なラグランジュ部分多様体を備えた非コンパクトなカラビ＝ヤウ3次元多様体に対して、数学的に厳密なオープン・グロモフ・ウィトテン不変量の定義を提示する。フレームの曖昧さは、トポロジー的フレームの概念によって解消され、フレーム依存の連結数とジャン・シモンズ理論を組み合わせることで、$N$ 大きき双対性および弦理論からの予測と一致する絡みやリンクの不変量が得られる。

ABSTRACT

We consider Open Gromov-Witten invariants for noncompact Calabi-Yau in the case the Lagrangian has the topology of $\R^2 imes S^1$. The definition of the invariant involves the choice of a frame for the Lagrangian, in accord with string theory. Our result applies to the examples arising from Large $N$-duality. In particular it leads to knot and link invariants counting holomorphic curves.

研究の動機と目的

• 非コンパクトなカラビ＝ヤウ3次元多様体に $L \cong \mathbb{R}^2 \times S^1$ を持つ場合の、オープン・グロモフ・ウィトテン不変量におけるフレームの曖昧さを解消すること。
• 大型 $N$ 双対性のような未解決の双対性に依存しない、これらの不変量のシンプレクティックトポロジー的定義を提供すること。
• 絡みのフレームとその関連するラグランジュ部分多様体のフレームの間の一対一対応を確立し、一貫した曲線数え上げを可能にすること。
• フレームに符号化されたコンパクト化データを用いて、非コンパクトラグランジュ部分多様体上での一般化された連結数を定義すること。
• フレームが作用の軌道に対応する場合、$S^1$-可換局在化によって計算された不変量が、この定義と一致することを示すこと。

提案手法

• フレームを、$v$ が $H_1(L') \to H_1(L)$ の核を生成するとき、$f_1v_2 - f_2v_1 = \pm 1$ を満たす $f \in H_1(L')$ として定義し、ホモロジーの基底を保証する。
• 無限遠で $f$ にホモロジカルに同値な曲線を用いて、$S^3$ 風の定義を拡張し、コンパクト集合を避けるホモトピーによる非連結性を定義することで、$L$ 上の連結数を定義する。
• 非コンパクトな $L$ に適応された [7] の枠組みに従い、鎖の一般化された連結数としてオープン・グロモフ・ウィトテン不変量を構成する。
• コンパクト化からの制限によって定義される $L$ 上のジャン・シモンズプロパゲーターを用い、境界条件はフレームによって決定される。
• 絡み $ \mathcal{K}$ のフレームとそのコノーマルラグランジュ部分多様体 $L_{\mathcal{K}} \subset T^*S^3$ のフレームの間の一対一対応を確立する。
• グロモフのコンパクト性と $L_{\mathcal{K}}$ のホモロジー的自明性を用いて、すべての絡みやリンクに対して不変量が適切に定義されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトラグランジュ部分多様体が $\mathbb{R}^2 \times S^1$ に微分同相である場合、オープン・グロモフ・ウィトテン不変量を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 大型 $N$ 双対性およびミラー対称性で観察されるフレームの曖昧さの数学的起源は何か？
• RQ3 フレームの選択が、非コンパクトラグランジュ部分多様体上での曲線の連結数にどのように影響するか？
• RQ4 $S^1$-可換局在化によって計算された不変量は、シンプレクティックトポロジー的定義と整合するか？
• RQ5 コノーマルラグランジュ部分多様体の文脈において、絡みのフレームとラグランジュ部分多様体のフレームの正確な対応関係は何か？

主な発見

• オープン・グロモフ・ウィトテン不変量におけるフレームの曖昧さは、$L \cong \mathbb{R}^2 \times S^1$ のコンパクト化の非一意性に起因し、各フレームが異なるコンパクト化に対応する。
• 各フレームは、無限遠での漸近的挙動を用いて、$S^3$ の定義を一般化した明確な連結数を曲線に誘導する。
• フレーム付きの絡み $ \mathcal{K}^f$ のオープン・グロモフ・ウィトテン不変量は、$H_4(X) = 0$ のため、$B$ などの補助的選択に依存せず、適切に定義される。
• フレーム付きリンク $\mathcal{K}_1^{f_1}, \dots, \mathcal{K}_k^{f_k}$ に対して、グロモフのコンパクト性のもとで、不変量 $F_{g,\vec{n}}^{f_1,\dots,f_k}$ は定義され、有限である。
• リウによる $S^1$-可換局在化によって得られた不変量は、フレームが $S^1$-軌道に対応する場合、シンプレクティックトポロジー的オープン・グロモフ・ウィトテン不変量と一致する。
• 軌道の連結数がゼロであるフレームでは、局在化計算における非自明なグラフの寄与が消えることから、提案された定義と一貫していることが確認された。