[論文レビュー] From Loop Space Mechanics to Nonabelian Strings

Urs Schreiber|ArXiv.org|Sep 21, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 170被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、ループ空間上の超対称量子力学を2-bundleと2ホロノミーを介して高階ゲージ理論へと昇格させることで、非アーベルストリングのカテゴライズされた枠組みを確立する。非アーベルデルグインハイパコホノロジーを導入し、グローバルな表面ホロノミーを記述し、ゲルベスを一般化するとともにM理論のブレーン、スピンするストリング、および導来カテゴリと接続する。主な貢献は、リー2代数とストリング群構造を用いた非アーベルストリングの整合的作用関数の構築である。

ABSTRACT

Lifting supersymmetric quantum mechanics to loop space yields the superstring. A particle charged under a fiber bundle thereby turns into a string charged under a 2-bundle, or gerbe. This stringification is nothing but categorification. We look at supersymmetric quantum mechanics on loop space and demonstrate how deformations here give rise to superstring background fields and boundary states, and, when generalized, to local nonabelian connections on loop space. In order to get a global description of these connections we introduce and study categorified global holonomy in the form of 2-bundles with 2-holonomy. We show how these relate to nonabelian gerbes and go beyond by obtaining global nonabelian surface holonomy, thus providing a class of action functionals for nonabelian strings. The examination of the differential formulation, which is adapted to the study of nonabelian p-form gauge theories, gives rise to generalized nonabelian Deligne hypercohomology. The (possible) relation of this to strings in Kalb-Ramond backgrounds, to M2/M5-brane systems, to spinning strings and to the derived category description of D-branes is discussed. In particular, there is a 2-group related to the String-group which should be the right structure 2-group for the global description of spinning strings.

研究の動機と目的

• アーベル的ゲルベスを越えて、非アーベルストリング理論のグローバルかつカテゴライズされた記述を構築すること。
• ループ空間力学を非アーベル2形式ゲージ場およびそのホロノミーを含む形に一般化すること。
• 2群ゲージ理論を通じてストリング群がスピンするストリングのグローバル構造とどのように関係するかを確立すること。
• 局所的およびグローバルな2接続を分類するための微分コホモロジー理論—非アーベルデルグインハイパコホノロジー—を定式化すること。
• 形式的枠組みをM2/M5ブレーン、カルブ＝ラマント背景、および導来カテゴリ内のDブレーンといった物理的系と関連付けること。

提案手法

• ループ空間上の超対称量子力学を昇格させ、ワールドーシート不変量および境界状態を導出し、それらをストリング背景場と特定する。
• 厳密な2群とp経路群におけるカテゴライズされたホロノミー関手を用いて、2接続および2ホロノミーを有する2バンドルを導入する。
• リー2代数およびL∞-代数を用いた微分的図式を構築し、特にストリング群に関連するgk代数に注目する。
• 微分的 graded 代数上のチェーン写像を用いて、2接続の2曲率および整合性条件を導出する。
• 無限小2バンドルに形式的枠組みを適用し、ゲージ変換およびコycle条件がk依存のチェーン・シフトを伴うアーベル的ゲルベス構造に還元されることを示す。
• Čech拡張p経路群を用いてp=2のグローバルp関手を定義し、ホロノミーを高階カテゴリへ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてループ空間力学をカテゴライズ化することで非アーベルストリングを記述できるか？
• RQ2 非アーベル表面ホロノミーのグローバル構造は何か？ そして、ゲルベスおよび1ホロノミーをどのように一般化するか？
• RQ3 この形式的枠組みにおいてストリング群はどのようにしてスピンするストリングの構造2群として現れるか？
• RQ4 非アーベルデルグインハイパコホノロジーは、2接続およびそのゲージ変換を分類するために果たす役割は何か？
• RQ5 微分的およびグローバルな2接続の定式化は、特に無限小極限においてどのように関係するか？

主な発見

• 形式的枠組みは、2接続を有する2バンドルを介して非アーベル表面ホロノミーを実現し、非アーベルストリングのグローバル作用関数を提供する。
• 2曲率は、基礎となるリー2代数におけるジャコビ恒等式に起因する2ビアンチ恒等式を満たし、整合性が保証される。
• 無限小極限において、2形式接続Biのゲージ変換は、1接続Aのチェーン・シフトを伴うk依存の項を有する。
• 2接続のコycle条件は、1接続が平坦で適切なゲージが選ばれた場合、アーベル的ゲルベスの条件に還元され、kパラメータが非アーベル補正を符号化する。
• 2群PkGがリー2代数gkと同値であることが示され、この同値性がスピンするストリングのグローバル記述の根拠をなす。
• 微分的枠組みは、3接続の既知の整合性条件を正しく再現し、高階カテゴリカルレベルでのアプローチの妥当性を検証する。