[論文レビュー] The Gromov-Witten potential associated to a TCFT

Kevin J. Costello|ArXiv.org|Sep 12, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、非コンパact化された曲線のモジュライ空間から得られるバタリン＝ヴィルコヴィチ代数を用いて、カルラビ＝ヤウ $A_\infty$ 圏の正規化されたグロモフ＝ウィッテン汎関数を構成する。デリーニュ＝ムーディの基本類の代わりに量子マスター方程式の解を用いることで、すべての genus においてデリーニュ＝ムーディのコンパクト化に依存せずに、Bモデルの汎関数を回復する。

ABSTRACT

This is the sequel to my preprint "TCFTs and Calabi-Yau categories", math.QA/0412149. Here we extend the results of that paper to construct, for certain Calabi-Yau A-infinity categories, something playing the role of the Gromov-Witten potential. This is a state in the Fock space associated to periodic cyclic homology, which is a symplectic vector space. Applying this to a suitable A-infinity version of the derived category of sheaves on a Calabi-Yau yields the B model potential, at all genera. The construction doesn't go via the Deligne-Mumford spaces, but instead uses the Batalin-Vilkovisky algebra constructed from the uncompactified moduli spaces of curves by Sen and Zwiebach. The fundamental class of Deligne-Mumford space is replaced here by a certain solution of the quantum master equation, essentially the "string vertices" of Zwiebach. On the field theory side, the BV operator has an interpretation as the quantised differential on the Fock space for periodic cyclic chains. Passing to homology, something satisfying the master equation yields an element of the Fock space.

研究の動機と目的

• デリーニュ＝ムーディのコンパクト化に依存せずに、カルラビ＝ヤウ $A_\infty$ 圏の正規化されたグロモフ＝ウィッテン汎関数を定義すること。
• デリーニュ＝ムーディ空間上の基本類の使用を、バタリン＝ヴィルコヴィチ代数における量子マスター方程式の解に置き換えること。
• 周期的循環ホモロジーに関連するフォック空間に、正規化された状態を確立し、それがグロモフ＝ウィッテン汎関数をモデル化すること。
• フォック空間上の平坦接続を用いて、Bモデルにおけるホロモルフィック異常をBV理論的解釈すること。
• TCFTおよび周期的循環ホモロジーを用いて、すべての genus におけるBモデル汎関数の構成を統一すること。

提案手法

• 次元 $d$ だけずらされたホッホシュライブチェーンを介して、カルラビ＝ヤウ $A_\infty$ 圏に関連するトポロジカルな conformal field theory (TCFT) を用いる。
• セーンとツワイバッハに従い、非コンパクト化された曲線のモジュライ空間からバタリン＝ヴィルコヴィチ代数を構成する。
• このBV代数における量子マスター方程式の解を特定し、ツワイバッハのストリング頂点として解釈する。
• この解を、周期的循環ホモロジー上のフォック空間への状態へ写像する。フォック空間はシンプレクティックベクトル空間である。
• この構成を、カルラビ＝ヤウ多様体上の連接層の導来圏に適用し、Bモデル汎関数を回復する。
• フォック空間形式を用いて、フォック空間内の正規化された直線を定義し、それがグロモフ＝ウィッテン汎関数として解釈される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デリーニュ＝ムーディのコンパクト化に依存せずに、カルラビ＝ヤウ $A_\infty$ 圏の正規化されたグロモフ＝ウィッテン汎関数を定義できるか？
• RQ2 非コンパクト化されたモジュライ空間上のバタリン＝ヴィルコヴィチ形式が、デリーニュ＝ムーディ空間の基本類の役割をどのように置き換えるか？
• RQ3 量子マスター方程式の解が、フォック空間における正規化された状態を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ4 得られた汎関数は、Bモデルにおけるホロモルフィック異常とどのように関係するか？
• RQ5 この構成は、周期的循環ホモロジー上のガウス＝マイン接続に適合するフォック空間上での平坦接続を定義するために拡張可能か？

主な発見

• この構成により、周期的循環ホモロジー上のフォック空間に正規化された状態が得られ、これがグロモフ＝ウィッテン汎関数の役割を果たす。
• このBV理論的アプローチにより、カルラビ＝ヤウ多様体上のBモデルにおいて、すべての genus で汎関数が回復される。
• セーン＝ツワイバッハのBV代数における量子マスター方程式の解は、ストリング頂点に対応し、デリーニュ＝ムーディの基本類を置き換える。
• フォック空間の状態はBV作用素に関して不変であり、これは周期的循環チェーン上の量子化された微分作用素として作用する。
• この構成は、円作用の自明化に依存しないため、従来の手法が選択を必要としたのに対し、正規化されたものとなる。
• 汎関数はホロモルフィック体積形式のスケーリングに従い、形式的パラメータ $\lambda$ のスケーリングによって変化し、ホロモルフィック異常と整合的である。