[論文レビュー] Function space bases in the dune-functions module

Christian Engwer, Carsten Gräser+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Dune-Fem有限要素ソフトウェアエコシステムにおいて関数空間の基底を体系的に表現・操作するためのフレームワークを提示している。木構造による抽象化を用いて混合およびベクトル値有限要素空間をモデル化し、複雑な基底構造にわたる自由な多重インデックス化を可能にした。ストークス方程式に対するテイラー＝フッド有限要素法への応用を通じて、Dune 2.6のdune-functionsモジュールを用いた型安全で拡張可能かつ効率的な実装が示された。

ABSTRACT

The dune-functions Dune module provides interfaces for functions and function space bases. It forms one abstraction level above grids, shape functions, and linear algebra, and provides infrastructure for full discretization frameworks like dune-pdelab and dune-fem. This document describes the function space bases provided by dune-functions. These are based on an abstract description of bases for product spaces as trees of simpler bases. From this description, many different numberings of degrees of freedom by multi-indices can be derived in a natural way. We describe the abstract concepts, document the programmer interface, and give a complete example program that solves the stationary Stokes equation using Taylor-Hood elements.

研究の動機と目的

• Duneエコシステム全体にわたる有限要素関数空間およびその基底の表現を統一・抽象化し、コードの重複と断片化を低減すること。
• 混合およびベクトル値空間に特に適した、柔軟で拡張可能で型安全なインターフェースを提供し、複雑な有限要素基底を表現すること。
• 積空間の階層的木構造を反映する多重インデックス化スキームを体系的に構築できること。
• 多重インデックスをフラットで連続する局所番号付けスキームにマッピングすることで、有限要素行列の局所的アセンブリを効率的に行えること。

提案手法

• 単純で分解不能な基底としてのスカラーまたは分解不能な空間を葉とし、積演算を内部ノードとする木構造として有限要素空間をモデル化すること。
• 木構造を反映する多重インデックス番号付けスキームを生成する戦略ベースのシステムを定義し、フラットインデックスとネストインデックスの両方を可能にすること。
• dune-istlライブラリのネストされたベクトルおよび行列型を用いて、木の階層構造に対応する多次元データ構造を表現すること。
• 各グリッド要素に対して形状関数値、勾配、およびヤコビアンによる変換を計算する局所的基底インターフェースを実装すること。
• 行列アセンブリのために、木構造からの多重インデックスをフラットな局所インデックスにマッピングするため、`localView.tree().child(...).localIndex()`メソッドを用いること。
• ストークス問題にテイラー＝フッド要素を適用し、速度と圧力の別々の基底木を用意し、ガウス積分を用いて速度-速度、速度-圧力、圧力-速度の項をアセンブルすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合およびベクトル値有限要素空間を、複数の基底タイプとインデックススキームをサポートする形で、抽象的に表現する方法は何か？
• RQ2 木構造基底からの多重インデックスを、行列アセンブリに適したフラットな局所自由度にマッピングする、型安全で拡張可能で効率的な方法は何か？
• RQ3 同じ抽象的基底インターフェースを用いて、ノード、階層的、不連続ガラーキンなどの複数の有限要素タイプを、1つのフレームワーク内で統合的に扱えるか？
• RQ4 関数空間基底の木構造抽象化を用いて、自由度の異なる番号付け戦略を体系的に導出し、管理できるか？
• RQ5 得られたインターフェースを、dune-pdelab や dune-fem などの既存のDuneモジュールに統合し、コード再利用と移行を可能にする方法は何か？

主な発見

• dune-functionsモジュールは、木構造ベースの表現を用いて有限要素関数空間基底を成功裏に抽象化し、混合およびベクトル値空間の一貫性と拡張性を実現した。
• フレームワークは、ノード、階層的、単項式といった複数の基底タイプを1つのインターフェース内でサポートし、同じコードベース内で相互に交換可能にした。
• 戦略ベースの多重インデックス化システムにより、木構造基底からフラットな局所番号付けへの柔軟なマッピングが可能となり、効率的な行列アセンブリに不可欠な要因となった。
• テイラー＝フッド要素を用いたストークス系の正しく効率的なアセンブリが実装され、速度と圧力の自由度が木インターフェースを介して別々に処理された。
• `localView.tree().child(...).localIndex()`の使用により、成分を跨ぐ形状関数のインデックス指定が型安全かつ正確に行われ、手動でのインデックス管理の必要がなくなった。
• このアプローチにより、dune-pdelab および dune-fem へのシームレスな統合が実現され、両プロジェクトともdune-functionsをコアの基底抽象化として採用する移行を進行中である。