[論文レビュー] Functions of bounded mean oscillation and Hankel operators on compact abelian groups

А. Р. Миротин, R.V. Dyba|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2019

Differential Equations and Boundary ProblemsMathematics参考文献 4被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、線形に順序付けられた特徴群を備えたコンパクトなアーベル群に、有界平均振動関数（BMO）およびハンケル作用素を一般化する。双対群に最小の正の元が存在するという仮定の下で、関数がBMO(G) または BMOA(G) に属するための必要十分条件として、対応するハンケル作用素が有界であること、すなわち、古典的結果を非可換調和解析の文脈に拡張する。

ABSTRACT

Generalization of functions of bounded mean oscillation and Hankel operators to the case of compact abelian groups with linearly ordered dual is considered. Spaces of functions of bounded mean oscillation and of bounded mean oscillation of analytic type on such groups are described in terms of boundedness of corresponding Hankel operators under the assumption that the dual group contains a minimal positive element.

研究の動機と目的

• 古典的設定（例えば、円周群）における有界平均振動関数（BMO）およびハンケル作用素の理論を、線形に順序付けられた特徴群を備えたコンパクトなアーベル群へ拡張すること。
• このような群上で、関連するハンケル作用素の有界性を用いてBMO(G)およびBMOA(G)の空間を特徴付けること。
• この広範な調和解析の枠組みにおいて、フェッファーマンの双対性定理をBMOに対して一般化すること。
• ハンケル作用素の作用素論的条件を用いて、BMOおよびBMOA空間の関数解析的特徴付けを提供すること。
• 順序付けられたアーベル群の文脈における、古典的ハンケル作用素理論の非可換拡張の基盤を築くこと。

提案手法

• BMO(G) を、f, g ∈ L∞(G) に対して f + ḡ と表せる関数の空間として定義する。ここで ḡ は g の調和共役である。
• BMOA(G) を、BMO(G) とハーディー空間 H¹(G) の共通部分集合として定義する。これは解析的性質を有するBMO関数を表す。
• L²(G) 上の関数 φ に対して、H²₋(G) への直交射影を用いて定義されるハンケル作用素 Hφ を導入する。
• 直交分解 L²(G) = H²(G) ⊕ H²₋(G) および射影 P₊ と P₋ を用いて、ハンケル作用素 Hφ = P₋φ として定義する。
• 特徴群 X に最小の正の元が存在することを活用し、well-defined な正の錐 X₊ と線形順序を保証する。
• スペクトル理論および双対性技術を用いて、Hφ の有界性と φ が BMO(G) や BMOA(G) に属することの関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形に順序付けられた特徴群を備えたコンパクトなアーベル群に対して、有界平均振動関数の概念をどのように一般化できるか。
• RQ2 このような群上で、ハンケル作用素を用いたBMO(G)およびBMOA(G)の作用素論的特徴付けは何か。
• RQ3 ハンケル作用素の有界性が、生成関数がBMO(G) や BMOA(G) に属することを示すための条件は何か。
• RQ4 古典的双対性（BMOと平均振動が消える関数の空間との間）が、この非可換な設定へ拡張可能か。
• RQ5 特徴群に最小の正の元が存在することは、有界ハンケル作用素とBMO関数の間の同値性を保証するために果たす役割は何か。

主な発見

• BMO(G) は、関連するハンケル作用素 Hφ が有界であるような φ ∈ L²(G) の集合にちょうど一致する。
• BMOA(G) は、Hφ が有界でかつ φ ∈ H¹(G) であるような関数 φ ∈ L²(G) の集合として特徴付けられる。
• φ ∈ L²(G) が有界ハンケル作用素 Hφ を生成するための必要十分条件は、P₋φ ∈ BMO(G) であることである。ここで P₋ は H²₋(G) への射影である。
• 双対群 X に最小の正の元が存在するならば、G 上の任意の有界ハンケル作用素は、ある g ∈ L∞(G) に対する符号から生じる。すなわち Hφ = Hg となる g が存在する。
• BMO(G) のノルム同値性は、関連するハンケル作用素の作用素ノルムを用いて確立され、BMOノルムが Hφ の作用素ノルムと同値であることが示される。
• 証明は、X に最小の正の元が存在することを根拠として、well-defined な正の錐の存在を保証し、主要定理の証明におけるスペクトル的および双対性的議論を可能にする。