[論文レビュー] Expansion of Iterated Stochastic Integrals with Respect to Martingale Poisson Measures and with Respect to Martingales Based on Generalized Multiple Fourier Series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2018

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 30被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、マルティングール・ポアソン測度および一般のマルティングールに対する任意の多重度の反復伊藤確率積分を、一般化された多重フーリエ級数を用いて一般化された方法で展開する手法を提示する。このアプローチは平均二乗収束を保証し、正規直交系（ベッセル関数を含む）を通じて明示的な展開を提供し、確率微分方程式における複雑な確率積分の効率的な数値近似を可能にする。

ABSTRACT

We consider some versions and generalizations of an approach to the expansion of iterated Ito stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ $(k\in\mathbb{N})$ based on generalized multiple Fourier series. Expansions of iterated stochastic integrals with respect to martingale Poisson measures and with respect to martingales were obtained. For the iterated stochastic integrals with respect to martingales we have proved theorem, which is a generalization of the expansion for iterated Ito stochastic integrals of arbitrary multiplicity based on generalized multiple Fourier series. Also we consider a modification of the mentioned expansion of iterated Ito stochastic integrals for the case of complete orthonormal with weight $r(t_1)\ldots r(t_k)\ge 0$ systems of functions in the space $L_2([t, T]^k)$. Mean-square convergence of the considered expansions is proved. An example of the expansion of iterated (double) stochastic integrals with respect to martingales using the system of Bessel functions is considered.

研究の動機と目的

• 任意の多重度の反復伊藤確率積分を一般化された多重フーリエ級数を用いて展開するための一般的な枠組みを構築すること。
• この展開手法をマルティングール・ポアソン測度および一般のマルティングールに関する確率積分へ拡張すること。
• 重み関数 $r(t_1)\cdots r(t_k) \geq 0$ を持つ $L_2([t,T]^k)$ 内の任意の完全正規直交系に対して、展開の平均二乗収束を証明すること。
• ベッセル関数を正規直交系として用いた具体的な例を通じて、実用的適用可能性を示すこと。
• 独立した標準正規確率変数を用いた、反復確率積分の計算可能で実用的な表現を提供すること。

提案手法

• 本手法は、正規直交関数系を用いた $L_2([t,T]^k)$ 内の一般化された多重フーリエ級数展開を採用する。
• 任意の完全正規直交系（重み関数 $r(t_1)\cdots r(t_k) \geq 0$ を含む）を許容することで、従来の結果を一般化し、平均二乗近似を可能にする。
• 展開は、フーリエ係数と独立な標準正規確率変数を含む二重和の極限として、反復確率積分を表現する。
• マルティングール・ポアソン測度の場合、関連するマルティングール増分のスペクトル表現を用いて展開を導出する。
• 本手法は、$L_2([0,T])$ 内で完全な正規直交系としてベッセル関数を用い、$\zeta_j^{(i)} = \int_0^T \Psi_j(\tau) dM_\tau^{(i)}$ として明示的な表現を得ることで検証される。
• 本手法は、l.i.m.（平均の意味での極限）表記で形式化された平均二乗収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の多重度の反復伊藤確率積分を、保証された平均二乗収束を伴う一般化された多重フーリエ級数で展開することは可能か？
• RQ2 この展開手法は、マルティングール・ポアソン測度に関する確率積分へどのように一般化できるか？
• RQ3 重み関数を伴う完全正規直交系が、フーリエ基づく展開の収束を保証する役割を果たすのはどのようなものか？
• RQ4 本手法は、ベッセル関数のような特定の系へ適用可能か？その場合、確率積分の表現はどのように得られるか？
• RQ5 同じ積分の異なる定式化から得られるフーリエ係数 $C_{j_2j_1}$ と $\tilde{C}_{j_2j_1}$ の関係は何か？

主な発見

• 本稿では、マルティングールに関する任意の多重度の反復伊藤確率積分について、一般化された多重フーリエ級数展開の平均二乗収束を証明している。
• 重み関数 $r(t_1)\cdots r(t_k) \geq 0$ を持つ $L_2([t,T]^k)$ 内の任意の完全正規直交系に対して、展開の一般化が確立され、本手法の適用範囲が拡張された。
• ベッセル関数の場合、二重確率積分 $\int_0^T \int_0^s dM_\tau^{(1)} dM_s^{(2)}$ が、$\tilde{C}_{j_2j_1} \zeta_{j_1}^{(1)} \zeta_{j_2}^{(2)}$ を含む和の極限として表現され、$\zeta_j^{(i)}$ は独立な標準正規変数である。
• 異なる定式化から得られるフーリエ係数 $C_{j_2j_1}$ と $\tilde{C}_{j_2j_1}$ が等しいことが示され、本手法の一貫性が確認された。
• 本手法により、従来の手法に制限を受けることなく、標準正規確率変数のみを用いた複雑な反復確率積分の効果的な数値近似が可能になった。
• 本フレームワークは、マルティングール・ポアソン測度に関する積分へ拡張され、点過程およびジャンプ・ドリフトモデルへの応用範囲が広がった。