[論文レビュー] Expansion of Iterated Ito Stochastic Integrals of Arbitrary Multiplicity Based on Generalized Multiple Fourier Series Converging in the Mean

Dmitriy F. Kuznetsov|ArXiv.org|Dec 28, 2017

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 41被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、任意の多重度の反復伊藤確率積分を、$L_2([t,T]^k)$ 上の一般化多重フーリエ級数を用いて展開する新規な手法を提示する。この手法は、単一の極限遷移によって平均二乗収束を達成する。このアプローチは、任意の完全正規直交系および重み付き系へと一般化可能であり、従来のエルミート多項式に基づく手法と比較して、収束性の性質と計算効率の面で優れている。

ABSTRACT

The article is devoted to the expansions of iterated Ito stochastic integrals based on generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in the space $L_2([t, T]^k),$ $k\in\mathbb{N}.$ The method of generalized multiple Fourier series for expansion and mean-square approximation of iterated Ito stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ ($k\in\mathbb{N}$) with respect to components of the multidimensional Wiener process is proposed and developed. The obtained expansions contain only one operation of the limit transition in contrast to its existing analogues. In the article it is also obtained the generalization of the proposed method for an arbitrary complete orthonormal systems of functions in the space $L_2([t, T]^k),$ $k\in\mathbb{N}$ as well as for complete orthonormal with weight $r(t_1)\ldots r(t_k)$ systems of functions in the space $L_2([t, T]^k),$ $k\in\mathbb{N}$. The comparison of the considered method with the well-known expansions of iterated Ito stochastic integrals based on the Ito formula and Hermite polynomials is given. The convergence in the mean of degree $2n$ $(n \in \mathbb{N})$ and with probability 1 of the proposed method is proved.

研究の動機と目的

• 任意の多重度 $k$ の反復伊藤確率積分の平均二乗近似の一般化手法を開発すること。
• この手法を $L_2([t,T]^k)$ 上の任意の完全正規直交系および重み付き正規直交系へと拡張すること。
• 提案された展開の平均二乗収束（$2n$ 次の平均）および概収束を確立すること。
• 提案手法と既存のエルミート多項式に基づく展開を比較し、計算構造および収束挙動の面での利点を強調すること。

提案手法

• 反復伊藤確率積分に関連する核関数の一般化多重フーリエ級数展開を、$L_2([t,T]^k)$ 上で用いる。
• 展開係数は、核関数と正規直交基底関数との内積により計算され、体系的な近似が可能になる。
• このアプローチは、代替手法で一般的に見られる複数の極限プロセスを避けるために、$L_2$ ノルムにおける単一の極限遷移に依存する。
• この手法は、$L_2([t,T])$ 上の任意の完全正規直交系 $\{\phi_j(x)\}$ および重み $r(t_1)\cdots r(t_k)$ を持つ重み付き系へと一般化可能である。
• 因果構造を正しく扱うために、インジケータ関数が導入され、確率積分の順序が保証される。
• パーソバルの等式および正規直交系の性質を用いて理論的収束性を証明し、明示的な誤差推定値を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の多重度の反復伊藤確率積分を、保証された平均収束を伴う一般化多重フーリエ級数でどのように展開できるか？
• RQ2 提案されたフーリエベースの展開手法の収束性—特に $2n$ 次の平均および概収束—はどのような性質を示すか？
• RQ3 提案手法は、既存のエルミート多項式に基づく展開と比較して、計算構造および収束挙動の面でどのように異なるか？
• RQ4 この手法は、$L_2([t,T]^k)$ 上の任意の完全正規直交系および重み付き正規直交系へと一般化可能か？
• RQ5 このアプローチを用いた反復伊藤確率積分の近似における平均二乗誤差推定値の明確な形は何か？

主な発見

• 提案された展開手法は、複数の極限プロセスを要する従来の手法とは異なり、単一の極限遷移でのみ平均二乗収束を達成する。
• $n \in \mathbb{N}$ に対する $2n$ 次の平均収束が厳密に証明され、強い理論的保証が得られる。
• 任意の多重度 $k$ の場合に対し、展開の概収束が確立され、パスワイズな信頼性が保証される。
• この手法は、$L_2([t,T])$ 上の任意の完全正規直交系（例えば、ルジャンドルおよび三角関数系を含む）へと一般化可能であり、明示的な係数公式が得られる。
• 近似の平均二乗誤差に対する明示的な推定値が導出され、基底関数に関する一般条件のもとで有効であることが示された。
• このアプローチにより、平均二乗誤差の正確な計算が可能であり、定理12、13および22で示されるように、一般化に対しても誤差境界が保持される。