[論文レビュー] Further Results on Cauchy Tensors and Hankel Tensors

Haibin Chen, Guoyin Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では一般化されたコーシーtensorを導入し、正半定値コーシーtensorがSOS（平方和）tensorおよび完全正定値tensorと同値であることを確立している。これは、非負のランク1 tensorへの分解が可能であることを意味する。さらに、偶数階のコーシー・ハンケルtensorが正定値であるための必要十分条件が、生成パラメータの特定の正性条件を満たすことであることを証明し、ハンケルtensorの正半定値性がランク制約下での関連平面tensorおよびSOS性質と関連することを示している。

ABSTRACT

In this article, we present various new results on Cauchy tensors and Hankel tensors. { We first introduce the concept of generalized Cauchy tensors which extends Cauchy tensors in the current literature, and provide several conditions characterizing positive semi-definiteness of generalized Cauchy tensors with nonzero entries.} As a consequence, we show that Cauchy tensors are positive semi-definite if and only if they are SOS (Sum-of-squares) tensors.} Furthermore, we prove that all positive semi-definite Cauchy tensors are completely positive tensors, which means every positive semi-definite Cauchy tensor can be decomposed { as} the sum of nonnegative rank-1 tensors. We also establish that all the H-eigenvalues of nonnegative Cauchy tensors are nonnegative. Secondly, we present new mathematical properties of Hankel tensors. { We prove that an even order Hankel tensor is Vandermonde positive semi-definite if and only if its associated plane tensor is positive semi-definite. We also show that, if the Vandermonde rank of a Hankel tensor $\mathcal{A}$ is less than the dimension of the underlying space, then positive semi-definiteness of $\mathcal{A}$ is equivalent to the fact that $\mathcal{A}$ is a complete Hankel tensor, and so, is further equivalent to the SOS property of $\mathcal{A}$. Lastly, we introduce a new structured tensor called Cauchy-Hankel tensors, which is a special case of Cauchy tensors and Hankel tensors simultaneously.} Sufficient and necessary conditions are established for an even order Cauchy-Hankel tensor to be positive definite. Final remarks are listed at the end of the paper.

研究の動機と目的

• 非ゼロ成分を有する一般化コーシーtensorを導入することで、コーシーtensor理論を拡張すること。
• 一般化コーシーtensorの正半定値性および完全正値性を特徴づけること。
• 偶数階コーシーtensorに関して、正半定値性、SOS性質、完全正値性の同値性を確立すること。
• ハンケルtensorの正半定値性とその関連平面tensorとの関係を、特にバーデモンドランク制約下で調査すること。
• コーシー・ハンケルtensorを定義・分析し、正定値性の必要十分条件を確立すること。

提案手法

• 生成ベクトルに特定の関数形を課すことにより、標準コーシーtensorの拡張として一般化コーシーtensorを導入する。
• 代数的tensor分解と正性解析を用いて、正半定値コーシーtensorがSOS tensorであることを証明する。
• 非負のランク1分解が可能であることを示すことにより、偶数階コーシーtensorが完全正値であることを確立する。
• 平面tensorとバーデモンド構造を介してハンケルtensorを定義・分析し、正半定値性を平面tensorの性質と関連付ける。
• コーシーとハンケル構造を組み合わせたハイブリッドクラスとしてコーシー・ハンケルtensorを導入し、パラメータに基づく正定値性の条件を導出する。
• 同次多項式の単調性解析を応用し、正の象限における厳密な単調性を用いて正定値性を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロ成分を有する一般化コーシーtensorが正半定値であるための条件は何か？
• RQ2 すべての正半定値コーシーtensorはSOS tensorまたは完全正値tensorと同値であるか？
• RQ3 偶数階ハンケルtensorの正半定値性とその関連平面tensorの正半定値性との関係は何か？
• RQ4 ハンケルtensorの正半定値性が完全ハンケルtensorまたはSOS tensorと同値となる条件は何か？
• RQ5 偶数階コーシー・ハンケルtensorが正定値であるための必要十分条件は何か？

主な発見

• すべての正半定値コーシーtensorはSOS tensorであり、これは同次多項式の平方和として表現可能であることを意味する。
• 偶数階コーシーtensorが正半定値であるための必要十分条件は、非負のランク1tensorへの分解が可能であること、すなわち完全正値であることである。
• 非負のコーシーtensorのすべてのH-固有値は非負であり、スペクトルの非負性が確認される。
• 偶数階ハンケルtensorがバーデモンド正半定値であるための必要十分条件は、その関連平面tensorが正半定値であることである。
• ハンケルtensorのバーデモンドランクが基底空間の次元未満である場合、その正半定値性は完全ハンケルtensorおよびSOS tensorであることと同値である。
• 偶数階コーシー・ハンケルtensorが正定値であるための必要十分条件は、パラメータが $ g + mh > 0 $ および $ g + nmh > 0 $ を満たすことである。