[論文レビュー] Geometric estimates for complex Monge-Ampere equations

Xin Fu, Bin Guo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、自然な曲率および可積分性条件の下で、幾何的複素Monge-Ampère方程式の解に対して一様な勾配および直径推定を確立する。主な貢献は、非負のKodaira次元をもつKähler多様体上のねじれKähler-Einstein計量の崩壊族に対して、一様な直径上限を示したことである。これは、制御されたリッチ曲率および$L^p$可積分な体積形式を持つ特異的・退化的状況への正則性理論の拡張を可能にする。

ABSTRACT

We prove uniform gradient and diameter estimates for a family of geometric complex Monge-Ampere equations. Such estimates can be applied to study geometric regularity of singular solutions of complex Monge-Ampere equations. We also prove a uniform diameter estimate for collapsing families of twisted Kahler-Einstein metrics on Kahler manifolds of nonnegative Kodaira dimensions.

研究の動機と目的

• Kähler多様体上における制御されたリッチ曲率をもつ複素Monge-Ampère方程式の解に対して、一様な$L^\infty$および勾配推定を確立すること。
• 体積形式の$L^p$可積分性および下からのリッチ曲率の下界を課すことにより、特異的・退化的解への正則性理論の拡張を図ること。
• 非負のKodaira次元をもつKähler多様体上におけるねじれKähler-Einstein計量の崩壊族に対して、一様な直径推定を証明すること。
• Yauの$C^0$推定およびKolodziejの$L^p$境界を、曲率および可積分性条件の下で一様な勾配および直径制御を含む形に一般化すること。
• 正の重みをもつ除集合に沿った角型または軌道型特異的を持つ解に対する幾何的正則性結果を提供すること。

提案手法

• 著者らは、$\lambda = 0$ または $1$ の場合の複素Monge-Ampère方程式 $(\theta + i\partial\bar{\partial}\varphi)^n = e^{\lambda\varphi}\Omega$ を分析し、$\int_X \Omega = \int_X \theta^n$ を満たす体積形式$\Omega$を仮定する。
• 2つの主要な条件を課す：$p > 1$ に対して $\int_X (\Omega/\theta^n)^p \theta^n \leq K$ および $Ric(\Omega) \geq -A\theta$（$A \geq 0$）。これらにより、可積分性と曲率制御が保証される。
• 複素ポテンシャル論および事前推定を用い、最大値原理と曲率比較を用いて、$\varphi$ に対する一様な$L^\infty$および$L^\infty$-勾配境界を導出する。
• 直径推定は、Gromov-Hausdorff収束の技法を用い、体積成長を比較し、極限計量における体積比較原理を用いることで得られる。
• この手法は、非崩壊的および崩壊的両方の族に適用可能であり、Kähler類の退化に伴う解の挙動を分析することにより、ねじれKähler-Einstein計量に対しても適用可能である。
• 証明は、一様定数 $C = C(X,\theta,p,K,A)$ が存在し、$\|\varphi - \sup_X \varphi\|_{L^\infty} + \|\nabla_g \varphi\|_{L^\infty} \leq C$ および $Diam(X,g) \leq C$ を満たすことに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L^p$可積分性およびリッチ曲率下界の下で、複素Monge-Ampère方程式の解に対して一様な勾配および直径推定を確立できるか？
• RQ2 非負のKodaira次元をもつ多様体上のねじれKähler-Einstein計量の崩壊族において、解計量の直径が一様に有界のままであるか？
• RQ3 制御された成長をもつ特異的または退化的体積形式に対する複素Monge-Ampère方程式の正則性理論は、どの程度まで拡張可能か？
• RQ4 $\varphi$ およびその勾配に対する一様推定は、関連するKähler計量$g$の幾何にどのように制御するか？
• RQ5 $L^p$可積分性およびリッチ下界条件を用いて、有界な部分曲率を仮定せずに一様な直径制御を導出できるか？

主な発見

• 複素Monge-Ampère方程式の解$\varphi$ は、一様定数 $C = C(X,\theta,p,K,A)$ を用いて、$\|\varphi - \sup_X \varphi\|_{L^\infty} + \|\nabla_g \varphi\|_{L^\infty} \leq C$ を満たす。
• 計量$g$ に付随するリッチ曲率 $Ric(g)$ は、同じ定数$C$を用いて $Ric(g) \geq -Cg$ を満たす。
• 多様体$(X,g)$ の直径は一様に有界である：$Diam(X,g) \leq C$（$C = C(X,\theta,p,K,A)$）。
• ねじれKähler-Einstein計量の崩壊族に対しては、同じ$L^p$およびリッチ曲率条件の下で直径が一様に有界のままである。
• 正の重みをもつ除集合に沿った角型特異的を持つ解に対しても結果は適用可能であり、軌道型計量への正則性の拡張が可能である。
• 一様推定はGromov-Hausdorff極限において安定であり、極限空間が有限直径をもち、体積測度が比較原理を満たすことを保証する。