[論文レビュー] Geometric representations of graded and rational Cherednik algebras

Alexei Oblomkov, Zhiwei Yun|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 45被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ℂ*-作用を備えた同次アフィンスプリンガー層のコホロジーを用いて、階数付きおよび有理型チェレドニク代数上の加群の幾何的実現を構成する。θが自明な場合、この構成は既約で有限次元の球的加群Lν(triv)をもたらし、この加群の次元公式を示し、ヒチン層上の perverse filtration を通じてそのフロベニウス代数構造の幾何的解釈を提供する。

ABSTRACT

We provide geometric constructions of modules over the graded Cherednik algebra $\mathfrak{H}^{gr}_ν$ and the rational Cherednik algebra $\mathfrak{H}^{rat}_ν$ attached to a simple algebraic group $\mathbb{G}$ together with a pinned automorphism $θ$. These modules are realized on the cohomology of affine Springer fibers (of finite type) that admit $\mathbb{C}^*$-actions. In the rational Cherednik algebra case, the standard grading on these modules is derived from the perverse filtration on the cohomology of affine Springer fibers coming from its global analog: Hitchin fibers. When $θ$ is trivial, we show that our construction gives the irreducible finite-dimensional spherical modules $\mathfrak{L}_ν(triv)$ of $\mathfrak{H}^{gr}_ν$ and of $\mathfrak{H}^{rat}_ν$. We give a formula for the dimension of $\mathfrak{L}_ν(triv)$ and give a geometric interpretation of its Frobenius algebra structure. The rank two cases are studied in further details.

研究の動機と目的

• 階数付きおよび有理型チェレドニク代数上の加群を、アフィンスプリンガー層のコホロジーを用いて幾何的に構成すること。
• これらの加群上の標準的次数が、それらのグローバルな類似物であるヒチン層を通じて、アフィンスプリンガー層のコホロジー上の perverse filtration とどのように関係するかを明らかにすること。
• θが自明な場合、この幾何的構成が既約で有限次元の球的加群Lν(triv)を回復することを示すこと。
• Lν(triv)の次元公式を導出し、そのフロベニウス代数構造の幾何的解釈を提供すること。
• ランク2の場合を詳細に分析し、ヘッセンバーグ多様体および既約加群の明示的計算を行うこと。

提案手法

• ℂ*-作用を備えた同次アフィンスプリンガー層のコホロジー群として加群を実現すること。
• グローバルなヒチンファイブレーションによって誘導されるアフィンスプリンガー層のコホロジー上の perverse filtration を用いて、加群上の次数を定義すること。
• コスタントの切断およびモイ・プラサド層を用いて、ループ代数内の正則中心化作用素および同次元を解析すること。
• チェレドニク代数のグローバルな層論的作用を、これらの層のコホロジー上に構成すること。
• ラングランズ双対性およびフーリエ変換を用いて、双対群に対する幾何的加群を関連させること。
• スペクトル系列の議論および双対性定理（例えば、キリング形式および随伴バンドルの自己双対性を介して）を用いて、余核を計算し、コホロジーとリー代数コホモロジーを関連させること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 階数付きおよび有理型チェレドニク代数上の加群は、どのようにアフィンスプリンガー層を用いて幾何的に実現できるか？
• RQ2 これらの加群上の標準的次数の起源は何か？ そして、コホロジー上の perverse filtration とどのように関係するか？
• RQ3 θが自明な場合、幾何的構成は既約で有限次元の球的加群Lν(triv)を回復するか？
• RQ4 Lν(triv)の次元は何か？ また、そのフロベニウス代数構造はどのように幾何的に実現されるか？
• RQ5 低ランクの場合（例えば 2A2、C2、G2）には、幾何的構成はどのように振る舞うか？

主な発見

• θが自明な場合、幾何的構成は既約で有限次元の球的加群Lν(triv)をもたらす。
• Lν(triv)の次元は、接写像の余核の長さとして計算され、これは ker([φ,−])/Lie(Ja) の商の長さに等しい。
• 加群上の標準的次数は、ヒチンファイブレーションから引き戻されたアフィンスプリンガー層のコホロジー上の perverse filtration に由来する。
• Lν(triv)上のフロベニウス代数構造は、キリング形式および双対性定理を介して、コホロジーの自己双対性として幾何的に実現される。
• Lν = OX(ν) の場合、同次ヒチン層は同次アフィンスプリンガー層と同型であり、局所からグローバルへの対応関係が確立される。
• ランク2の場合（例：2A2、C2、G2）では、ヘッセンバーグ多様体が明示的に計算され、既約加群がこれらの多様体のコホロジーを介して幾何的に実現されることが示された。