[論文レビュー] Geometric transitions, double scaling limits and gauge theories

Osvaldo P. Santillán|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、幾何的遷移を介して、3次元球面における Chern-Simons 理論の Ooguri-Vafa 演算子と関連させることで、5次元ゲージ理論における U(1) Nekrasov 分割関数の B-model 解釈を確立する。これは、行列模型の二重スケーリング極限としてアーベル型 Nekrasov 関数が現れることを示し、その模型のスペクトル曲線が Stieltjes-Wigert 多項式と量子演算子を含むシュレーディンガー型方程式に符号化されることを示す。

ABSTRACT

In the present work certain features of the Penner model, such its enumerative meaning and its relation to the Chern-Simons theory on the 3-sphere, are reviewed. Also, some features related to geometric transitions at the level of the observables are discussed. In this setup, the non commutative five dimensional U(1) Nekrasov partition function is interpreted as a limiting case of a mean value of the Ooguri-Vafa operator for a Chern-Simons model, which is dual to the A-model on a toric Calabi-Yau with $h_{1,1}=1$ and $h_{2,1}=2$. We work out a B-model interpretation of this identification explicitly by considering this model on the corresponding mirror geometries.

研究の動機と目的

• S^3 上の Chern-Simons 理論に関連して、Penner 行列模型の幾何的・数え上げ的意味を明確化すること。
• ミラー対称性と幾何的遷移を用いて、U(1) Nekrasov 分割関数の B-model 実現を確立すること。
• Penner 行列模型の二重スケーリング極限が、量子演算子を介してアーベル型 Nekrasov 関数を再現することを示すこと。
• 行列模型における brane の挿入を A-model 晶体像における欠陥として解釈し、それらをウィルスンループ振幅に関連付けること。
• 変形されたコンパクトなコンパクト（deformed conifold）上のウィルスンループ振幅の N → ∞ 極限が、解消された幾何の自由エネルギーと一致することを示し、幾何的遷移を確認すること。

提案手法

• Penner 行列模型を用いてモジュライ空間のオイラー標数を計算し、二重スケーリング極限を介して S^3 上の Chern-Simons 理論と関連付ける。
• ミラー対称性を適用し、解消されたコンパクト（h1,1=1, h2,1=2）における A-model をミラー幾何における B-model に写像する。
• 測度 dμ(x) = e^{-g_s x^2} dx の下で Stieltjes-Wigert 多項式と直交多項式を含む演算子の挿入により、非コンパクト B-brane を導入する。
• 演算子 Ĥ(x, -g_s ∂_x) が brane 波動関数に作用する形で、波動関数のためのシュレーディンガー方程式を導出する。
• 演算子 Q を用いて B-model 振幅を A-model に写像し、brane を結晶モデルにおける半直線として実現し、多対数関数を用いて振幅を計算する。
• 変形されたコンパクトにおける複数 brane のウィルスンループ振幅を計算し、その N → ∞ 極限が小結合定数極限における Nekrasov 分割関数と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Penner 行列模型の二重スケーリング極限は、5次元における U(1) Nekrasov 分割関数をどのように再現するか？
• RQ2 変形されたコンパクトから解消されたコンパクトへの幾何的遷移の B-model ミラー記述は何か？
• RQ3 行列模型における brane の挿入は、A-model 晶体像における欠陥およびウィルスンループ振幅とどのように対応するか？
• RQ4 幾何的遷移の文脈において、Ooguri-Vafa 演算子と Nekrasov 分割関数の明確な関係は何か？
• RQ5 変形されたコンパクト上のウィルスンループ振幅の N → ∞ 極限は、どのように解消された幾何の自由エネルギーを再現するか？

主な発見

• 5次元におけるアーベル型 Nekrasov 分割関数は、h1,1=1 かつ h2,1=2 を持つトーリック Calabi-Yau 多様体における A-model の双対となる Chern-Simons モデルにおける Ooguri-Vafa 演算子の小結合定数極限として実現される。
• B-model における単一 brane の波動関数は、Stieltjes-Wigert 多項式 p_N(x) で与えられ、ミラー幾何から導かれる量子ハミルトニアンを含むシュレーディンガー方程式を満たす。
• 複数 brane の振幅は、Stieltjes-Wigert 多項式の行列の行列式として表現され、1点関数を複数 brane に一般化する。
• 行列模型における brane の挿入は、branes のmoduli を符号化する行列 X を含む対数項を含む修正された作用を介して実装される。
• 変形されたコンパクトにおける複数 brane のウィルスンループ振幅の N → ∞ 極限は、解消された幾何の自由エネルギーを再現し、幾何的遷移を確認する。
• Kähler moduli が t1 = t2 である場合、ウィルスンループ振幅の対数は、加法的定数を除き自由エネルギーと一致し、B-model の設定における Nekrasov 極限の妥当性が裏付けられる。