[論文レビュー] Geometry of canonical bases and mirror symmetry

A. B. Goncharov, Linhui Shen|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 62被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、装飾付き表面とG-局所系のモジュライ空間上の正則構造を介して、表現論における正規基底とミラー対称性を結ぶ幾何的枠組みを確立する。モジュライ空間A_{G,S}に定義された関数Wのトロピカル化は、畳み込み準同型の纤维の次元が最大の成分をパラメトライズし、Langlands双対群G^Lのテンソル積不変量の正規基底を提供する。これはKamnitzerのハーブモデルを一般化し、Mirković-Vilonenサイクルを混合フラッグ構成に拡張する。

ABSTRACT

A decorated surface S is a surface with a finite set of special points on the boundary, considered modulo isotopy. Let G be a split reductive group. A pair (G, S) gives rise to a moduli space A(G, S), closely related to the space of G-local systems on S. It has a positive structure. So the set of its integral tropical points is defined. We introduce a rational positive function W on A(G, S), the potential. The condition that its tropicalisation is non-negative determines its subset. For SL(2), we recover the set of integral laminations on S. We prove that when S is a disc with n special points on the boundary, this set parametrises top dimensional components of the convolution varieties. Thus, via geometric Satake correspondence, they provide a canonical basis in tensor product invariants of irreducible modules for the Langlands dual group. When G=GL(m), n=3, there is a special coordinate system on A(G,S). We show that it identifies our set with the set of with Knutson-Tao's hives. Our result generalises a theorem of Kamnitzer, who used hives to parametrise top components of convolution varieties for GL(m), n=3. For n>3, we prove Kamnitzer's conjecture. We define canonical bases in tensor products, generalizing the Mirkovic-Vilonen basis in a single representation. We prove that for any S, the set of positive integral tropical points of A(G, S) parametrise top components in a new space, surface affine Grasmannian. We view W as a potential for Landau-Ginzburg model on A(G,S). We conjecture that the pair (A(G,S), W) is the mirror dual to the moduli space of local systems on S for the Langlands dual group. In a special case, we recover Givental's description of the quantum cohomology connection for flag varieties.

研究の動機と目的

• Langlands双対群のテンソル積不変量における正規基底と、装飾付き表面におけるG-局所系のモジュライ空間との間の幾何的対応を確立すること。
• Mirković-Vilonen基底とそのパラメトライゼーションを、フラッグの混合配置およびより高次の表現のn重組に一般化すること。
• 正則モジュライ空間にポテンシャル関数Wを備えたものとして、V_{λ₁} ⊗ ⋯ ⊗ V_{λₙ}^{G^L}における正規基底を定義すること。
• 空間(A_{G,S}, W)とS上のG^L-局所系のモジュライ空間との間のLandau-Ginzburgミラー対称性双対性を定式化すること。

提案手法

• 装飾付き表面S上のG-局所系のモジュライ空間A_{G,S}に正則構造を導入し、整数トロピカル点A_{G,S}(Z^t)の定義を可能にする。
• A_{G,S}上に有理正則関数Wを定義し、そのトロピカル化W^t: A_{G,S}(Z^t) → Zを定義し、W^t ≥ 0を満たす部分集合A^+_{G,S}(Z^t)を定義する。
• 幾何的Satake対応を用いて、畳み込み準同型の纤维の次元が最大の成分をA^+_{G,S}(Z^t)と同一視し、テンソル積不変量における正規基底のパラメトライゼーションを実現する。
• GL_mおよびn=3の場合、A^+_{GL_m,S}(Z^t)がKnutson-Taoのヘイブと同一視可能であり、n>3におけるKamnitzerの予想を証明する。
• 混合配置空間のトロピカル点によってパラメトライズされる、一般化されたMirković-VilonenサイクルをS_e^λ ∩ S_w^μの成分として構成する。
• S上のG^L-局所系のモジュライ空間Loc_{G^L,S}を新たに定義し、A^+_{G,S}(Z^t)がLoc_{G^L,S}上の正則関数空間における正規基底をパラメトライズすることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G^Lの非可約表現のテンソル積不変量における正規基底を、G-局所系のモジュライ空間を用いて幾何的にどのようにパラメトライズできるか？
• RQ2 A_{G,S}上のポテンシャル関数Wの役割は何か？ そのトロピカル化は、表現論における整数性と正則性とどのように関係するか？
• RQ3 A^+_{G,S}(Z^t)による正規基底のパラメトライゼーションは、Kamnitzerのヘイブモデルをどのように一般化し、n>3に拡張するか？
• RQ4 混合フラッグ配置と正則構造を用いて、一般化されたMirković-Vilonenサイクルを構成し、パラメトライズできるか？
• RQ5 空間(A_{G,S}, W)とG^L-局所系のモジュライ空間Loc_{G^L,S}との間にはミラー対称性双対性が存在するか？

主な発見

• G=SL₂の場合、集合A^+_{G,S}(Z^t)は[FG1]における正則整数A-ラミネーションの集合を回復し、表面位相と幾何的関係を確立する。
• G=GL_mおよびn=3の場合、集合A^+_{GL_m,S}(Z^t)はKnutson-Taoのヘイブと同一視可能であり、n>3におけるKamnitzerの予想を証明する。
• A^+_{G,S}(Z^t)による正規基底のパラメトライゼーションは、巡回的不変性を有し、Berenstein-Zelevinskyの元々のパラメトライゼーションにおける曇りを解消する。
• 一般化されたMirković-VilonenサイクルはA^+_{G,S}(Z^t)によってパラメトライズされ、標準写像κを介して明示的パラメトライゼーションを避ける。
• A_{G,S}上のポテンシャルWはLandau-Ginzburg超電位として提案され、(A_{G,S}, W)はLoc_{G^L,S}と双対であると予想される。
• 本構成により、Loc_{G^L,S}上の正則関数空間に正規基底が得られ、その基底要素はA^+_{G,S}(Z^t)によってインデックス付けされる。