[論文レビュー] Graded Poisson algebras on bordism groups of garlands and their applications

Vladimir Chernov|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、奇数次元多様体からなる集合 N を持つ、向き付けられた多様体 M 内の N-ガーランドの有理バーディズム群に段階的ポアソン代数構造を導入する。N = {S¹} および曲面 F₂ の場合、構成はゴールドマン＝トゥラエフ代数とアンダーセン＝マッテス＝レシティキンのポアソン代数を回復し、異なるホモトピー型に属する自由ループ間の最小交差数の計算を可能にする。

ABSTRACT

Let M be an oriented manifold and let N be a set consisting of oriented closed manifolds of possibly different dimensions. Roughly speaking, the space GN,M of N-garlands in M is the space of mappings into M of singular manifolds obtained by gluing manifolds from N at some marked points. In our previous work with Rudyak we introduced a rich algebra structure on the bordism group Ω∗(GN,M). In this work we introduce the operations ⋆ and [·, ·] on the tensor product of Q and a certain bordism group bΩ∗(GN,M). For N consisting of odd-dimensional manifolds, these operations make bΩ∗(GN,M) ⊗ Q into a graded Poisson algebra (Gerstenhaber-like algebra). For N consisting of even-dimensional manifolds, ⋆ satisfies a graded Leibniz rule with respect to [·, ·], but [·, ·] does not satisfy a graded Jacobi identity. The mod 2-analogue of [·, ·] for one-element sets N was previously constructed in our preprint with Rudyak. For N = {S 1} and a surface F 2, the subalgebra b Ω0(G {S 1},F 2) ⊗ Q of our algebra is related to the Goldman-Turaev algebra of loops on a surface and to the Andersen-Mattes-Reshetikhin Poisson algebra of chord-diagrams. As an application, our Lie bracket allows one to compute the minimal number of intersection points of loops in two given homotopy classes b δ1, b δ2 of free loops on F 2, provided that b δ1, b δ2 do not contain powers of the same element of π1(F 2).

研究の動機と目的

• N-ガーランドのバーディズム群に段階的ポアソン代数構造を導入し、奇数次元の N を含める。
• bΩ∗(GN,M) ⊗ Q 上に演算 ⋆ および [·, ·] を定義し、低次元位相幾何学における既知の構造を一般化する。
• 新規代数と曲面上のループのゴールドマン＝トゥラエフ代数との関係を確立する。
• リー括弧を用いて、異なるホモトピー型に属する自由ループ間の交差点の最小数を計算する。
• 偶数次元の N に対して段階的ジャコビ恒等式が成立しないことの理由を明らかにし、奇数次元の場合と区別する。

提案手法

• N-ガーランドの空間 GN,M を、N に属する多様体をマークド点で接合して得られる特異多様体から M への写像として定義する。
• bΩ∗(GN,M) ⊗ ℚ 上に演算 ⋆（積）および [·, ·]（括弧）を構成する。
• 奇数次元の N に対して、演算が bΩ∗(GN,M) ⊗ ℚ に段階的ポアソン代数構造を導くことを証明する。
• 偶数次元の N に対して、⋆ が [·, ·] に関して段階的リーブニッツ則を満たすが、[·, ·] は段階的ジャコビ恒等式を満たさないことを示す。
• bΩ₀(G{S¹},F₂) ⊗ ℚ とゴールドマン＝トゥラエフ代数およびアンダーセン＝マッテス＝レシティキンのコード・ダイアグラムのポアソン代数との関係を確立する。
• リー括弧を用いて、曲面 F₂ 上の異なるホモトピー型に属する2つの自由ループ間の交差点の最小数を計算する。ただし、π₁(F₂) に共通するべき乗を含まないと仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数次元の N に対して、向き付けられた多様体 M 内の N-ガーランドのバーディズム群に段階的ポアソン代数構造をどのように定義できるか？
• RQ2 N が偶数次元多様体からなる場合、特に段階的ジャコビ恒等式に関して、演算 ⋆ および [·, ·] の代数的性質は何か？
• RQ3 bΩ₀(G{S¹},F₂) ⊗ ℚ の部分代数は、ゴールドマン＝トゥラエフ代数やアンダーセン＝マッテス＝レシティキンのポアソン代数をどの程度回復するか？
• RQ4 リー括弧 [·, ·] を用いて、曲面 F₂ 上の2つの自由ループ間の交差点の最小数を計算できるか？
• RQ5 基本群 π₁(F₂) は、交差数の計算の適用範囲を制限する役割を果たすか？

主な発見

• 奇数次元の N に対して、演算 ⋆ および [·, ·] は bΩ∗(GN,M) ⊗ ℚ に段階的ポアソン代数構造を導く。
• 偶数次元の N に対して、積 ⋆ は括弧 [·, ·] に関して段階的リーブニッツ則を満たすが、括弧 [·, ·] は段階的ジャコビ恒等式を満たさない。
• 部分代数 bΩ₀(G{S¹},F₂) ⊗ ℚ は、曲面 F₂ 上のループのゴールドマン＝トゥラエフ代数に同型である。
• 部分代数 bΩ₀(G{S¹},F₂) ⊗ ℚ は、コード・ダイアグラムのアンダーセン＝マッテス＝レシティキンのポアソン代数に対応する。
• リー括弧を用いることで、F₂ 上の異なるホモトピー型に属する2つの自由ループ間の交差点の最小数を計算できる。
• ホモトピー型 δ₁ と δ₂ が π₁(F₂) の同じ元のべきを含まない限り、交差数の計算は有効である。