[論文レビュー] Graph Operations on Parity Games and Polynomial-Time Algorithms

Christoph Dittmann, Stephan Kreutzer+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2012

Formal Methods in Verification被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、結合、頂点貼り付け、および単一頂点追加の3つのグラフ操作を適用することで、特定のグラフクラスにおけるパリティゲームを多項式時間で解くアルゴリズムを提示する。もしパリティゲームのクラスが多項式時間で解けるならば、これらの操作によって得られるクラスに対しても同様に多項式時間で解けることを証明しており、完全グラフの向き付け、完全二部グラフの向きけ、ブロックグラフ、およびブロックカチオングラフへの拡張を含む。

ABSTRACT

Parity games are games that are played on directed graphs whose vertices are labeled by natural numbers, called priorities. The players push a token along the edges of the digraph. The winner is determined by the parity of the greatest priority occurring infinitely often in this infinite play. A motivation for studying parity games comes from the area of formal verification of systems by model checking. Deciding the winner in a parity game is polynomial time equivalent to the model checking problem of the modal mu-calculus. Another strong motivation lies in the fact that the exact complexity of solving parity games is a long-standing open problem, the currently best known algorithm being subexponential. It is known that the problem is in the complexity classes UP and coUP. In this paper we identify restricted classes of digraphs where the problem is solvable in polynomial time, following an approach from structural graph theory. We consider three standard graph operations: the join of two graphs, repeated pasting along vertices, and the addition of a vertex. Given a class C of digraphs on which we can solve parity games in polynomial time, we show that the same holds for the class obtained from C by applying once any of these three operations to its elements. These results provide, in particular, polynomial time algorithms for parity games whose underlying graph is an orientation of a complete graph, a complete bipartite graph, a block graph, or a block-cactus graph. These are classes where the problem was not known to be efficiently solvable. Previous results concerning restricted classes of parity games which are solvable in polynomial time include classes of bounded tree-width, bounded DAG-width, and bounded clique-width. We also prove that recognising the winning regions of a parity game is not easier than computing them from scratch.

研究の動機と目的

• パリティゲームが多項式時間で解ける構造的グラフクラスを同定すること。
• 標準的なグラフ操作がパリティゲームの多項式時間解法可能性を保つかどうかを分析すること。
• 有界木幅やクランク幅を超えて、ブロックグラフ、ブロックカチオングラフ、および完全グラフの向きけを含む既知の tractable クラスを拡張すること。
• 勝利領域の認識が、元から計算するのと同程度に難しいことを証明すること。
• 1つの頂点を追加する、または頂点に沿ってゲームを貼り付ける操作が、基本クラスが多項式時間で解ける場合に、多項式時間で解ける性質を保つことを確立すること。

提案手法

• 3つのグラフ操作を定義する：2つのゲームの結合、頂点に沿った繰り返し貼り付け、1つの頂点の追加。
• 吸引集合と位置戦略を用いてゲームを分解し、部分ゲームを再帰的に解く。
• 基本クラス C の遺伝的性質を活用し、操作後に部分ゲームが C に留まることを保証する。
• 動的計画法と再帰的分解を適用する：部分ゲームを解き、吸引集合を用いて勝利領域を統合する。
• 再帰的関係 T(n) ≤ n² + t·nᶜ + T(n−1) を用いて実行時間を評価し、貼り付け操作では O(n^{1+max{2,c}}) 時間、頂点追加では O(n^{c+1}) 時間が得られる。
• 領域統合と再帰的分解の正当化に、補題 3.2 と補題 3.4 を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なグラフ操作を用いて、多項式時間で解けるパリティゲームクラスを拡張できるか？
• RQ2 2つの多項式時間で解けるクラスの結合は、依然として多項式時間で解けるか？
• RQ3 共有頂点に沿って複数のゲームを貼り付けることは、多項式時間での解法可能性を保つか？
• RQ4 多項式時間で解けるクラスに1つの頂点を追加すると、新たな多項式時間で解けるクラスが得られるか？
• RQ5 これらのクラスにおいて、勝利領域の認識は、元から計算するのと同程度に難しいか？

主な発見

• 完全グラフの向きけにおけるパリティゲームのクラスは、多項式時間で解ける。
• 完全二部グラフの向きけにおけるパリティゲームのクラスは、多項式時間で解ける。
• ブロックグラフおよびブロックカチオングラフにおけるパリティゲームのクラスは、多項式時間で解ける。
• 2つの多項式時間で解けるクラスの結合は、依然として多項式時間で解ける。実行時間の増加は多項式係数で抑えられる。
• 頂点に沿ってゲームを貼り付ける操作は、多項式時間での解法可能性を保ち、実行時間は O(n^{1+max{2,c}}) に増加する。
• 多項式時間で解けるクラスに1つの頂点を追加すると、O(n^{c+1}) 時間で解けるクラスが得られ、ここで c ≥ 2 である。