[論文レビュー] Gromov-Hausdorff limits of Kähler manifolds with Ricci curvature bounded below, II

Gang Liu, Gábor Székelyhidi|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 54被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、リッチ曲率が下から有界なケーラー多様体の非崩壊的Gromov-Hausdorff極限の接錐が、ホモセティックスケーリングを拡張するトーラス作用を持つ正規アフィン代数的多様体に位相的に同相であることを確立する。主な進展は、$ L^2 $-推定を接錐に適用して正則関数を構成するためのものであり、偏極設定を超えてDonaldson-Sunの結果を拡張するものである。

ABSTRACT

We study non-collapsed Gromov-Hausdorff limits of Kähler manifolds with Ricci curvature bounded below. Our main result is that each tangent cone is homeomorphic to a normal affine variety. This extends a result of Donaldson-Sun, who considered non-collapsed limits of polarized Kähler manifolds with two-sided Ricci curvature bounds.

研究の動機と目的

• リッチ曲率が下から有界な条件下で、偏極ケーラー多様体における接錐の代数的構造に関するDonaldson-Sunの結果を偏極でない場合にまで拡張すること。
• リッチ曲率が下から有界なケーラー多様体の非崩壊的Gromov-Hausdorff極限における接錐が、正規アフィン代数的多様体に位相的に同相であることを確立すること。
• 偏極がなくても、両側リッチ曲率の下限がある場合に、接錐の正則スペクトルが剛性を示すこと。
• 接錐における体積比 $ V_{2n}^{-1} ext{Vol}(B(o,1)) $ が代数的数であることを示し、計量幾何における新しい不変量を提供すること。

提案手法

• 接錐に収束する滑らかなケーラー多様体上で近似$ L^2 $-推定を構成することで、接錐上でHörmanderの$ L^2 $-推定のバージョンを証明する。
• 正則ベクトル場およびそのフローの収束を利用して、接錐上に極限的な正則同相作用を構成し、ホモセティックスケーリングをトーラス作用へ拡張する。
• トーラス作用を用いて、接錐上に多項式成長の同次正則関数を構成し、$ bC^N $ への埋め込みを提供する。
• この埋め込みによる接錐の像が閉じた代数的部分多様体であることを示し、それが正規アフィン多様体であることを証明する。
• 接錐の空間の連結性と正則スペクトルの代数的性質を活用して、両側リッチ曲率の下限がある場合のスペクトルの剛性を証明する。
• 体積比 $ V_{2n}^{-1} ext{Vol}(B(o,1)) $ が接錐の代数的構造から導かれる代数的数であるという事実を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リッチ曲率が下から有界な非崩壊的Gromov-Hausdorff極限におけるケーラー多様体の接錐の複素構造は、代数的構造に拡張可能か？
• RQ2 偏極がなくても、両側リッチ曲率の下限がある場合に、接錐の正則スペクトルは剛性を示すか？
• RQ3 接錐上のホモセティックスケーリングは、正則関数を介して線形トーラス作用に拡張可能か？
• RQ4 リッチ下限の設定下で、接錐における体積比は代数的数か？
• RQ5 両側リッチ下限を仮定しない場合、滑らかな極限からの近似を用いて接錐上で$ L^2 $-推定を確立できるか？

主な発見

• リッチ曲率が下から有界なケーラー多様体の非崩壊的Gromov-Hausdorff極限の任意の接錐は、正規アフィン代数的多様体に位相的に同相である。
• 適切な$ bC^N $ への埋め込みのもとで、接錐上のホモセティック作用は線形トーラス作用へ拡張され、代数的構造を保存する。
• 両側リッチ曲率の下限がある場合、特定の点におけるすべての接錐の正則スペクトルは同一であり、スペクトルの剛性が証明される。
• すべての接錐に対して体積比 $ V_{2n}^{-1} ext{Vol}(B(o,1)) $ は代数的数であり、計量幾何における新しい不変量を提供する。
• 滑らかな多様体からの近似を用いて接錐上で$ L^2 $-推定を確立し、元の列からの正則関数の極限を仮定せずに正則関数の構成が可能になる。
• 点における接錐の空間は連結であり、正則スペクトルは代数的数から成るため、両側の下限がある場合のスペクトルの剛性が示される。